湖南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）

专题： 证明题；导数的综合应用．

分析： （1）求出函数f（x）的导函数f′（x），解出f′（x）＞0和f′（x）＜0，从而求出函数f（x）的单调区间；

（2）构造新的函数，判断函数的单调性求出函数的最值，从而证明不等式．

x

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=e﹣2x﹣1（x∈R），

x

∵f′（x）=e﹣2，且f′（x）的零点为x=ln2，

∴当x∈（﹣∞，ln2）时，f′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0 即（﹣∞，ln2）是f（x）的单调减区间，（ln2，+∞）是f（x）的单调增区间．

x2x

（2）由f（x）=e﹣ax﹣2x﹣1（x∈R）得，f′（x）=e﹣2ax﹣2，

x

记g（x）=e﹣2ax﹣2（x∈R），

x

∵a＜0，∴g′（x）=e﹣2a＞0，即f′（x）=g（x）是R上的单调递增函数， 又f′（0）=﹣1＜0，f′（1）=e﹣2a﹣2＞0，

故R上存在唯一的x0∈（0，1），使得f′（x0）=0，且当x＜x0时，f′（x）＜0；当x＞x0时， f′（x）＞0，即f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 则f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax0﹣1，

再由f′（x0）=0得ex0=2ax0+2，将其代入前式可得， f（x）min=

，

又令h（x0）=由于﹣a＞0，对称轴∴h（x0）＞h（1）=a﹣1， 又

＞0，

=﹣a

，而x0∈（0，1），

，

∴h（x0）＞

，

故对任意实数a＜0，都在f（x）＞．

点评： 本题是一道导数的综合题，考查了，利用导数求函数的单调区间，等价转化思想，

不等式的证明．难度中等．