(完整)北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

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点评： 本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．

13．（4分）（2009?重庆）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4；

④四边形CDFE的面积保持不变； ⑤△CDE面积的最大值为8． 其中正确的结论是（ ）

①②③ ①④⑤ ①③④ ③④⑤ A． B． C． D．

考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题： 压轴题；动点型．

分析： 解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和

△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；

判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．

解答： 解：连接CF；

∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB； ∵AD=CE，

∴△ADF≌△CEF；

∴EF=DF，∠CFE=∠AFD； ∵∠AFD+∠CFD=90°，

∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形． 因此①正确．

当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．

因此②错误．

∵△ADF≌△CEF，

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∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，

因此④正确．

由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小； 即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．

∴DE=DF=4； 因此③错误．

当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小． 此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8； 因此⑤正确． 故选B．

点评： 本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使

此题难度稍稍降低一些．

二、填空题（每小题4分，共24分） 14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 每一个内角都大于60° ．

考点： 反证法．

分析： 熟记反证法的步骤，直接填空即可．

解答： 解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°．

故答案为：每一个内角都大于60°．

点评： 此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不

成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

15．（4分）（2013?雅安）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 ．

考点： 等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系． 专题： 分类讨论．

分析： 先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可． 解答： 解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，

解得a=1，b=2，

①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2， ∵1+1=2，

∴不能组成三角形，

②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1， 能组成三角形， 周长=2+2+1=5．

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故答案为：5．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解． 16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C= 35° ．

考点： 线段垂直平分线的性质．

分析： 由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，

∠BAE=20°，即可求得∠C的度数．

解答： 解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

∴∠C=∠CAE，

∵在Rt△ABE中，∠ABC=90°，∠BAE=20°， ∴∠AEC=70°，

∴∠C+∠CAE=70°， ∴∠C=35°． 故答案为：35°．

点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 17．（4分）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于 3cm ．

考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．

分析： 由BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC，易得△BDI与△ECI是等腰三角形，继而求

得答案．

解答： 解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，

∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF， ∵DE∥BC，

∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF， ∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC， ∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm， ∴DE=DI﹣EI=3（cm）． 故答案为：3cm．

点评： 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易得等腰三角形．

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18．（4分）（2013?东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m

的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m（容器厚度忽略不计）．

考点： 平面展开-最短路径问题． 专题： 压轴题．

分析： 将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 解答： 解：如图：

∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子， 此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处， ∴A′D=0.5m，BD=1.2m，

∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，

A′B==

=1.3（m）．

故答案为：1.3．

点评： 本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的

关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．

19．（4分）（2013?资阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 1+ ．