[优选整合]高中数学人教A版 选修2-3 1.3.1二项式定理 学案

1.3 二项式定理

------学案

一、学习目标

1.能从特殊到一般理解二项式定理；

2.熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项,有理项)； 3.能正确区分项,项的系数,项的二项式系数等概念； 二、自主学习

1．二项式定理是什么？

2．通项公式又是什么？

3．二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？

二项式定理

二项式定理 (a＋b)n＝C0n1n－1b＋…＋Ckn－na＋Cnanakbk＋…＋Cnnbn 二项展开式 公式右边的式子 二项式系数 Ckn(k＝0,1,2，…，n) 二项展开 式的通项 Tk＋1＝Cknan－kbk

[点睛] 应用通项公式要注意四点

(1)Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项；

(2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置； (3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题； (4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．

自主小测

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )

(2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．( )

(3)Ckn－

na

kbk

是(a＋b)n展开式中的第k项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×

2．??x－1

x??5的展开式中含x3项的二项式系数为( )

1

A．－10 C．－5 答案：D

2

x2－3?5展开式中的常数项为( ) 3．?x??A．80 C．40 答案：C

4．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第三项的二项式系数为________． 答案：40 10 三、合作交流,揭示规律

问题1：二项式定理的应用 [典例1] (1)求?3x＋

B．－80 D．－40 B．10 D．5

?

1?4

的展开式； x?

(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)． [解] (1)法一：?3x＋

?

1?4

x?

＝C04(3

x)

4

＋C14(3

1?31?22?1?234?1?4

x)·＋C4(3x)·＋C4·3x·＋C4·

?x??x??x?x

3

121

＝81x2＋108x＋54＋＋2．

xx1

法二：?3x＋?4＝

x??

x＋

x2

4

1

＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x

121

＝81x2＋108x＋54＋＋2．

xx

5142332450

(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1

＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1．

归纳总结：运用二项式定理的解题策略

(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

[活学活用1]

1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为( ) A．x4

B．(x－1)4

2

C．(x＋1)4

D．x4－1

031222

解析：选A (x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C4(x＋1)4＋C14(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＋34

C4(x＋1)(－1)3＋C4(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4，故选A．

n

2．设n为自然数，化简C02n－C12n1＋…＋(－1)k·Ck2nk＋…＋(－1)n·Cn＝________． n·n·n·

－

－

n1nk解：原式＝C02n·(－1)0＋C1·(－1)1＋…＋(－1)k·Ck＋…＋(－1)n·Cn20＝(2－1)n＝1． n·n2n2n·

－

－

答案：1

问题2：二项式系数与项的系数问题

1

2x－?6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； [典例2] (1)求二项式?x??1

x－?9的展开式中x3的系数． (2)求??x?1?r3r6－r?6－rrr

－[解] (1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝Cr(2x)·＝2C·(－1)·x3－， 66?x?29

∴T6＝－12·x－．∴第6项的二项式系数为C56＝6， 2第6项的系数为C5(－1)5·2＝－12． 6·

19－r?r9－2r

－?r＝(－1)r·(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则Tr＋1＝Cr·Cx， 9x9·?x?令9－2r＝3，得r＝3，

即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84． [一题多变]

1．[变设问]本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”． 3－

解：由通项Tr＋1＝(－1)r·Cr26r·x3－r， 6·2知第四项的二项式系数为C36＝20， 第四项的系数为C3(－1)3·23＝－160． 6·

2．[变设问]本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解． 解：设展开式中第r＋1项为含x5的项，则 Tr＋1＝(－1)r·Crx99·

－2r

，

令9－2r＝5，得r＝2．

即展开式中的第3项含x5，且系数为C29＝36．

归纳总结：求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特

别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．

问题3：与展开式中的特定项有关的问题

题点一：求展开式中的特定项

1．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( ) A．－15x4

B．15x4

3

C．－20ix4

D．20ix4

－

6rr

解析：选A 二项式的通项为Tr＋1＝Cri，由6－r＝4得r＝2． 6x424故T3＝C26xi＝－15x．故选A．

3

2．(1＋2x)3(1－x)5的展开式中x的系数是________．

3ss3r＋2s解析：(1＋2x)3(1－x)5的展开式的通项为2rCr(－1)C5x(其中r＝0,1,2,3；s＝0,1,2,3,4,5)， 3

6

???r＝0，?r＝2，3r＋2s2

令＝1，得3r＋2s＝6，所以?或?所以x的系数是－C35＋4C3＝2． 6???s＝3?s＝0.

答案：2

题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题

2

3．若?ax＋

?

1?5

的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________． x?

55－25－r?1?r

解析：Tr＋1＝Cr·(ax)＝Cra5rx10－r．令10－r＝5，解得r＝2．又展开式中x5的系数为－80，55·22?x?则有C2a3＝－80，解得a＝－2． 5·

答案：－2

归纳总结：求展开式中特定项的方法

求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数． 四、当堂检测

1?n

1．使?3x＋(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )

xx??

A．4 C．6

B．5 D．7

2．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中，若x5与x6的系数相等，则n＝( )

A．6 C．8

B．7 D．9

1

x2－?n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是( ) 3．在?x??

A．3 C．5

B．4 D．6

2

x－?7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答) 4．x??x?5．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______．(用数字填写答案)

4

6．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式 中x7的系数．

7．求证：1＋2＋22＋…＋25n1(n∈N*)能被31整除．

－

参考答案

55n－r?1?rn－r

1.解析：选B 由二项式定理得，Tr＋1＝Cr＝Crxn－r，令n－r＝0，当r＝2时，n＝5， n(3x)n322?xx?此时n最小．

nr2.解析：选B 二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝Cr·(3x)r＝Cr3r·xr．依题意得 n1n·

－

n5566

Cn·3＝Cn·3，即nn－＝3×n－n－

5！

n－6！

n－n－

n－n－

(n≥6)，得n＝7．

n－

12n－r?2n－3rr－?r＝(－1)rCr3.解析：选D 通项Tr＋1＝Crx，常数项是15，则2n＝3r，且Cn(x)nn＝15，验证n＝6?x?

时，r＝4合题意，故选D．

227－r?r7－2r

x－?7展开式中x3的系数，Tr＋1＝Cr－?r＝(－2)r·4.解析：x4的系数，即?·x·Cx， 77·?x??x?

2

令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C7＝84．

答案：84

10rr37

5.解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cra，当10－r＝7时，r＝3，T4＝C310x10ax，

－

133

则C10a＝15，故a＝．

21答案： 2

??m＝1 ，

6.解：由题设m＋n＝19，∵m，n∈N．∴?

??n＝18，

*

???m＝2，?m＝18，

?…，? ??n＝17，n＝1.??

19?2323121222?x2的系数C2m＋Cn＝(m－m)＋(n－n)＝m－19m＋171＝m－2??＋4． 22

7

∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C79＋C10＝156．

7.证明：∵1＋2＋2＋…＋2

25n－1

25n－1

＝ 2－1

＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1

1

＝C031n＋C131n1＋…＋Cn31＋Cnn·n·n·n－1

－

－

111＝31(C031n1＋Cn·31n2＋…＋Cn显然C031n1＋C131n2＋…＋Cn∴原式能被31整除． n·n)，n·n·n为整数，

－

－

－

－

－

－

5