10-11(2)高等数学试题(A)解答

院、系领导 审批并签名 A 卷 广州大学2010-2011学年第二学期考试卷

课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试

参考解答

题 次 一 二 三 四 五 六 分 数 20 18 21 7 11 13 得 分 一．填空题(每小题4分,本大题满分20分)

七 10 八 总 分 评卷人 100 uuuruuuruuuruuur1．已知AB?(1,1,1),AC?(2,3,4),则AB?AC?面积S?

(1,?2,1),三角形ABC的

16222.

2．方程x?y?z?1表示一个 单 叶双曲面,此曲面是由yOz面上的双曲线

2y2?z2?1绕

为

z轴旋转一周生成.

2223．曲面x?2y?3z?6上点(1,?1,1)处的法向量n?(2,?4,6),切平面方程

rx?2y?3z?6?0.

4．若曲线积分I?值I??(1,2)(0,0)y2f(x)dx?x4ydy与路径无关,则f(x)?2x3,积分

2.

5．将下列函数展开成(x?1)的幂级数:

1?1?(x?1)?L?(x?1)n?L,(0?x?2); 2?x1n?1?(2) 1?2(x?1)?L?n(x?1)?L,(0?x?2). 2(2?x)(1)

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二．解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分) 1．求函数z?xsin解：

2y的偏导数和全微分.

?z。。。。。（2分） ?2xsiny， 。

?x?zx2cosy， 。。。。。。（4分） ??y2yx2cosy?z?z。。。。。（6分） dz?dx?dy?2xsinydx?dy. 。

?x?y2y

2．设z?u,u?2x?y,v?xy,求

v?z. ?x?z?z?u?z?v解：。。。。。（2分） ???? 。

?x?u?x?v?x?vuv?1?2?uvlnu?y

2xy。。。。。（6分） ?(2x?y)xy[?yln(2x?y)] 。

2x?y

?x?t?23．在曲线?y?t上求一点,使曲线在此点的切线平行于平面x?2y?z?1.

?z?t3?r2解：T?(1,2t,3t)， 。。。。。。（2分）

rrT?n?(1,2,1)， 1?4t?3t2?0， 。。。。。。（4分）

1t1??1，t2??.

3111所求点为(?1,1,?1)或(?,,?). 。。。。。。（6分）

3927

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三．解答下列各题(每小题7分,本大题满分21分) 1．设D为半圆:0?y?1?x,计算I?解：I?2??1?xDy2?y2dxdy.

?sin???d?d? 。。。。。。（2分） 2??1??D?1?2sin???d??d? 。。。。。。（4分）

001??221??2?d? 。。。。。。（5分）

01??21?1?2(1?) 。。。。。。（7分） ?2?(1?)d?2041??

2．已知曲线C:y?x(0?x?1),计算I?解：ds?1?4xdx， 。。。。。。（2分）

。。。。。（4分） I??x1?4x2dx 。

0122?Cxds.

?1?1??(1?4x)??(55?1) 。。。。。。（7分） ?12?012

3．计算I??dx?022x3122y1?yy3dy.

解：I??2020dy?y01?y3dx 。。。。。。（4分）

??y21?y3。。。。。（5分） dy 。

24?23?。。。。。（7分） ??1?y?? 。

?3?03

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四．(本题满分7分)

?讨论级数?(a?1)n(a?0)n?1n的收敛性.

解：记u(a?1n)nn?，则

??limnn??u1n?lim(n??a?n)?a. 。。。。。。（3分）

当a?1时，??1，级数收敛； 。。。。。。（4分） 当a?1时，??1，级数发散； 。。。。。。（5分） 当a?1时，limn??un?e?0，级数发散. 。。。。。。（7分）

五．(本题满分11分)

?(?1)n?1xn求幂级数?n?1n的收敛域及和函数.

?(?1)n?1解：记ann，则收敛半径

R?limn??|ana|?limn?1?1. 。

。。。。。（3分） n?1n??n?时，得级数?(?1)n?1当x?1，收敛.

n?1n?当x??1时，得级数??1，发散.

n?1n收敛域为(?1,1]. 。。。。。。（6分）

?(?1)n?1s(x)??xn????x(?t)n?1dt?x???n?1nn?10?0???(?t)n?1n?1??dt??x101?tdt?ln(1?x)，

（?1?x?1）. 。。。。。。（11分）

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。。。。。（9分） 。