【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用 1.3.3 含解析

最新资料 1.3.3 函数的最大(小)值与导数

课时过关·能力提升

基础巩固

1已知f(x)是[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点 C.f(x)在[a,b]上可能没有极值点 D.f(x)在[a,b]上可能没有最值点

解析根据函数的极值与最值的概念判断知选项A,B,D都不正确,只有选项C正确. 答案C

2若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,-1]上的最大值为2,则它在该区间上的最小值为( )

A.-5 C.10

B.7 D.-19

解析f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x2-2x-3)

=-3(x+1)(x-3).

令f'(x)=0,得x=-1或x=3. f(-1)=1+3-9+a=a-5, f(-2)=8+12-18+a=a+2. 由题意知f(-2)=f(x)max=2+a=2,

∴a=0,∴f(x)min=f(-1)=a-5=-5.

答案A

3函数f(x)=xe-x在[0,4]上的最大值为( ) A.0 解析f'(x)=

B. 1-??

,令f'(x)=0,得x=1. e??1eC.2

4eD.2

2e当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x 0 (0,1) 1 (1,4) 4 + 0 f'(x) - 14e-f(x) 0 ↗ ↘ 4 ??

所以f(x)的最大值为f(1)=. 答案B

1

e部编本试题，欢迎下载！ 最新资料 4已知f(x)=2x3-6x2+a(a为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数f(x)在[-2,2]上的最小值是( ) A.-37 C.-5

解析f'(x)=6x2-12x,

令f'(x)=0,得x=0或x=2. 由f(-2)=-40+a,f(0)=a,f(2)=-8+a, 则f(0)=a=3?f(-2)=-40+a=-37.故选A. 答案A

5若函数f(x)=x3+2ax2+1在区间[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为 .

解析f'(x)=3x2+4ax,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以当x∈[0,1]时,f'(x)≤0恒成立,即3x+4a≤0恒成立.

所以a≤-x恒成立.故a≤-. 答案(-∞,-]

6函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是 . 解析f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),

令f'(x)=0,

则x=-1或x=1(舍去). f(-1)=3,f(0)=1,f(-3)=-17, 所以f(x)max=f(-1)=3, f(x)min=f(-3)=-17. 答案3,-17

7求函数y=f(x)=x3-x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 解先求导数,得y'=3x2-3x.

令y'=0,即3x2-3x=0, 解得x1=1,x2=0.

因为f(-2)=-9,f(0)=5,f(1)=,f(2)=7, 故ymax=7,ymin=-9.

8已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R),

(1)若函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值,试求a,b的值;

(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围. 解(1)f'(x)=3x2-2ax+b,

9232

343434B.-29 D.-8

∵函数f(x)在x=-1和x=3处取得极值, ∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的两根.

部编本试题，欢迎下载！ 最新资料 2??,3 ∴{

??

-1×3=,

3-1+3=

∴{

??=3,

??=-9.

(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c, f'(x)=3x2-6x-9.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

(-2,-(-x -2 1) -1 1,3) 3 (3,6) 6 f'(x) + 0 - 0 + 极大极小f(x) c-2 ↗ 值 ↘ 值 ↗ c+54 c+5 c-27

而f(-2)=c-2,f(6)=c+54,

∴当x∈[-2,6]时,f(x)的最大值为c+54,

要使f(x)<2|c|恒成立,只要c+54<2|c|即可, 当c≥0时,c+54<2c,

∴c>54;

当c<0时,c+54<-2c,

∴c<-18,

∴c∈(-∞,-18)∪(54,+∞).

故c的取值范围为(-∞,-18)∪(54,+∞).

能力提升

1函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是( )

A.1+1e B.1 C.e+1

D.e-1

解析因为f(x)=ex-x,

所以f'(x)=ex-1. 令f'(x)=0,得x=0. 且当x>0时,f'(x)=ex-1>0,

当x<0时,f'(x)=ex-1<0,即函数f(x)在x=0处取得极小值,f(0)=1. 又f(-1)=1e+1,f(1)=e-1,

综合比较得函数f(x)=ex-x在区间[-1,1]上的最大值是e-1.故选D. 答案D

2函数f(x)=1ex(sin x+cos x)在区间[0,π2

2

]上的值域为( )

部编本试题，欢迎下载！ 最新资料 11πA.[,e2] 2211πB.(,e2) 22C.[1,e2]

12π2π

D.(1,e2)

12π2π2π

解析f'(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=excos x,

当0≤x≤时,f'(x)≥0,且只有在x=时,f'(x)=0,所以f(x)是[0,]上的增函数.

π21

f(x)的最小值为f(0)=.

2π21π2即f(x)的最大值为f()=e2,

故f(x)在[0,]上的值域为[,e2].故应选A. 答案A

3对于R上的可导函数f(x),若满足(x-1)·f'(x)>0,则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)=2f(1)

B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1)

11π

22解析当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)内是增函数;当x<1时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,1)内是减函数,故当x=1时,f(x)取得最小值,即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),得f(0)+f(2)>2f(1). 答案D

4若f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则a的值为( ) A.2 C.6

B.4 D.8

31

?3的最小值为4.于是a≤4. 2????3??-131313-6??31

=2?3在[-1,0)内恒成立,而当-1≤x<0时,(2-3)'=4>0,则y=2?3为[-1,0)内的3????????????????解析①当-1≤x<0时,a≤增函数,从而

②当x=0时,f(x)≥0总成立. ③当0

1

在(0,1]上的最大值为4,所以a≥4.综上,a=4. ??33??-131313-6??13

=2?3在(0,1]上恒成立,而y=2?3的导数为y'=4,令y'=0?x=,不难判断y=2?32??????????????答案B ★

5设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时,t的值为( )

12√5√2A.1 B. C.

2 D.

2

解析当x=t时,|MN|=|f(t)-g(t)|=|t2-ln t|(t>0).

令φ(t)=t2-ln t(t>0), 所以φ'(t)=2t-=

√21??2??2-1

. ??所以当t∈(0,

√22)时,φ(t)单调递减;

当t∈(

2,+∞)时,φ(t)单调递增.

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