历年华罗庚金杯试题

之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”如果你敢于思考，善于思考，光是在体育竞赛项目中，你就会发现许许多多美妙的数学问题。 （15）王师傅在某个特殊岗位上工作、他每上8天班后，就连续休息2天。如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几个星期后他才能又在星期天休息？

[分析] 这个星期六和星期天休息，下次休息星期天可能有两种情况：或者在星期六和星期天休息，或者在星期天和星期一休息。我们要注意对这两种情况分别讨论。

[解法] 在第一种情况，相当于每隔9天休息1天，问什么时候再休息星期天？这是求7与10的最小公倍数问题。它们的最小公倍数是70，而70÷7=10，所以要再过10周才会又在星期六和星期天休息。

在第二种情况下，假如再过n周后休息星期天和星期一，那么7n+1应是10的倍数，所以n只能是7，17，27，…，n至少是 7。 综合两种情况，便能得到答案。

答：至少再过7周。

25?25 1．计算：83?214(3112?4.375)?198 9[分析] 分数、小数合在一起的四则运算，是小学数学的重要训练内容，要

求算得准、算得快。这个题目，是用繁分的形式给出了加、减、乘、除的混合运算，它的另一个形式是

(258?23?251814)?[(312?4.375)?199] 算这个题时，要注意两点：

（1）在乘、除运算中，代分数要化为假分数，及时约分；

（2）在加、减运算中，如果分数、小数同时出现，要么都化为分数，要么都化为小数。

[解法1]

历年华罗庚金杯试题集 第29页

21原式＝

8?2333?14(3712?35 8)?91792111 ＝

8?71799 24?179 ＝(211188?7)?3

＝7?4421

＝21721

[解法2]

212原式＝

8?3?3314 (3735912?8)?17921?11 ＝87179?56 24?956179 ＝147?8821

＝21721

[注] 两种方法的共同之处是在前两步中，都将乘、除运算中的带分数化成4.375化成了分数

358，这两步很关键。两种 了假分数，及时进行了约分，将方法的不同之处是解法1运用了乘法对加法的分配律，解法2则是采用了化简繁分式的通常方法——分子、分母乘以同一个不为零的数。这里，还要指出：

12，14，34，18，38，58，78的小数形式0.5，0.25，0.75，0.125，0.375，0.625，0.875，一定要很熟悉，在具体计算时，可以节省时间。

2．某年的10月里有5个星期六，4个星期日。问：这年的10月1日是星期几？

[分析] 这个题目，主要考查逻辑推理能力。解决这个题的关键是要判定：10月里的第一个星期六或者第一个星期日是10月几日？这个问题一解决，10月1日是星期几就很容易推算出来。当然，解这个题，还应当知道：10月是大月，有31天。我们知道，一年中的大月是1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月。人们会发现其中的不协调：到7月为止，都是单月为大月，但后面却突然改双月为大月了。为什么这么改呢？这里还有一段故事呢！原来，现在的历法，开始制定于古罗马时代。当时，有一个罗马皇帝，叫奥古斯特，他出生于8月，为了显示他的不平凡和尊贵，下令将8月改成大月，于是后面的双月都是大月了，这个划分一直沿用至今，在英语中，8月是August，读出来就是“奥古斯特”。

[解法1] 10月有31天，而31=4×7＋3，所以，这个月有4个星期零3天。 要判定10月1日是星期几，可以先推算这个月的第一个星期六是几日： 如果10月1日是星期六，那么10月2日、 9日、16日、23日、30日都是星期日，出现了5个星期日，与题设的“10月里有…4个星期日”不符，所以10月1日不是星期六。用同样的方法，可以推算出10月2日也不是星期六。 如果10月3日是星期六，那么，10月4日、11日、18日、25日是星期日，恰好有4个星期日，符合题目条件。倒推回去，可以知道10月1日是星期四。

[解法2] 可以先判定10月里的第一个星期日是10月几日。请少年朋友们自己去完成。

[注] 从解法1，我们可以清楚地看出来，问题的解决是以判定10月里第一个星期六是10月几日为突破口的，所使用的方法，叫做反证法，这是很重要的数学方法。少年朋友们尽可能及早熟悉这个方法。此外，还应该指出：除

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了判定10月里的第一个星期六或星期日是10月几日之外，也可判定第一个星期五、星期四……星期一是10月几日。

3．电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里。问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？

[分析] 认真读两遍题，仔细研究一下右边的图，便不难发现：不管是红跳蚤、还是黑跳蚤，不管它们是从哪一个圆圈起跳，只要是沿着一个方向跳，每一步都跳到相邻的圆圈中，那么，一共12个圆圈，跳12步就回到开始起跳位置，又重复进行前面的过程，这样，不管它跳的步数有多么大，只要算出跳了多少圈（这个圈是指大圆圈）又多少步，就知道它落在标有数字多少的圆圈中了。当然，要注意它跳的方向。

[解] 电子跳蚤每跳12步就回到了原来位置。 ∵ 1991=165×12＋11

∴红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发，按顺时针方向跳了1991步时，是跳了165个12步后跳到了标有数字“11”的圆圈。

同理，由1949=165×12+5知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了162个12步后跳到了标有数字“7”的圆圈。 ∴所求的乘积是11×7=77。 答：乘积是77。

[思考] 电子跳蚤“每跳12步回到原来位置”，这是一种周期变化。在日常生活中有周期现象的事物还有许多，如：一周是7天，一天是24小时，一年

是12个月，又如：钟摆的运动，日、月的运动等，研究周期现象，也是数学的一个重要任务呢！ 这个题目，还可以变得更复杂一些，如：电子跳蚤跳步时有这样的周期性：第一步跳1个小圆圈（即到相邻圈），第二步跳2个小圆圈（即到隔1个圈的小圆圈处），第三步跳3个小圆圈（即到隔2个圈的小圆圈处），如此重复下去，……其它条件同原题一样，那么，怎么解呢？相信少年读者们能自己解决。 4．173□是个四位数字．数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？

〔分析〕解这个题的关键是：怎样的自然数，才能被9整除？被11整除？被6整除？这里，要注意：被6整除，就是被2和3整除——一定是被3整除的偶数。

〔解〕∵能被9整除的四位数的各位数字的和是9的倍数，并且四位数173□的数字的和是

1＋7＋3+□=11+□，

□内的数字最大不超过9， ∴□内只能填7．

∵能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数。

∴（7+□）－（1＋3）＝3＋□ 应是11的倍数。

∵□内的数字最大不超过9， ∴□内只能填8。

∵能被6整除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数，而 1＋7＋3+□=11+□ ∴□内只能填4。 7+8＋4=19

答：所求的和是19。

〔注〕这个题目中，考查了能被9，11，6整除的三类自然数的特征。下面给出能被2、4、5、7、8整除的自然数的特征：

历年华罗庚金杯试题集 第31页

如果自然数A能被自然数a整除，我们就写作a｜A．下面就用这个符号来说明问题——

当A的个位数字是0、2、4、6、8这五个数中的一个时，2｜A； 当A的最后两位数是4的倍数时，4｜A； 当A的个位数字是0或5时，则5｜A；

当去掉A的个位数字后得到的新数与A的个位数字的2倍的差是7的倍数时，7｜A；

当A的最后三位数是8的倍数时，8｜A。 上面这些结论，少年朋友们要尽可能记住。

5．我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？ 〔分析〕这个题目并不难，只要仔细地找出不超过300的自然数中的“完全平方数”，求出它们的和，再从前300个自然数的总和中减去这个和，就得到结果了。

〔解〕不超过300的完全平方数，有：

1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289．它们的和是1785。

前300个自然数的和是

1?2?3???300?(1?3002)?300?45150

45150-1785=43365．

答：剩下的自然数的和是43365。

〔思考〕上面的解法中，求前300个自然数的和，用的是少年朋友们十分熟悉的少年时代的高斯的算法。即：

如果n是自然数，那么，

1?2?3???(n?2)?(n?1)?n?1?n2?n。 用这个公式去算

1＋2＋3＋…＋298＋299＋300， 当然比逐个累加要快得多了！由此，少年朋友们很容易会想到：

求12＋22＋32＋…＋152＋162＋172 有没有公式呢？

答案是：有！这就是

12?22?32???n2?n(n?1)(2n?1)6

用这个公式算不超过300的完全平方数的和是很容易的：

12?22?32???172?17?18?356?51?35?1785

这个公式的推导，只要用一个公式 （x＋1）3=x3＋3x2＋3x＋1

就可以了：在这个公式中，我们依次用1，2，3，…，n-2，n-1，n去替换x，得到n个等式

23=13+3·12＋3· 1＋1 33=23＋3·22＋3·2＋1 43＝33＋3·32＋3·3＋1 ……

（n－1）3=（n－2）3＋3（n-2）2＋3（n－2）＋1 n3=（n-1）3＋3（n-1）2＋3（n-1）＋1 （n＋1）3=n3＋3n2＋3n＋1 将这n个等式加起来，那么

等式的左边=13+23+33＋…＋n3＋（n＋1）3， 等式的右边包含四部分：

第一列的和是13+23＋33+…＋（n－1）3＋n3； 第二列的和是3（12＋22＋33＋…＋n2），读者已经看到，括号里正是要推导的公式的左边；

第三列的和是3（1＋2＋3+…＋n），这就是3?n(n?1)2 第四列的和是n个1相加，当然得n．

根据加、减法的概念，可以得到

历年华罗庚金杯试题集 第32页

(n?1)3?13?3(12?22?32???n2)?3?n(n?1)2?n 也就是

n3?3n2?3n?1?13?3(12?22?32???n2)?3n2?3n2?n

从这个等式中，可以得到

12+22＋32＋…+n2

n3?3n2＝

?3n3?n2?n2?n3 ＝2n3?3n2?n6

＝

n(n?1)(2n?1)6

以上的推导过程中，用到初中代数的一些知识，少年朋友可能有不懂之处，那么，可以去请教自己的数学老师．

6．如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米？

〔分析〕这是一个极其简单的体积计算题，相信每位少年朋友都能正确地求出结果。

〔解〕容器的底面积是

（13-4）×（9-4）=45（平方厘米）， 高为2厘米，所以容器的体积是 45×2=90（立方厘米）．