浙江工业大学材料力学第7章答案

7.1 一实心圆杆1，在其外依次紧套空心圆管2和3。设三杆的抗拉刚度分别为E1A1、E2A2及E3A3，此组合杆承受轴向拉力F，三杆之间无相对摩擦。试求组合杆的伸长量。 解：平衡方程：FN1?FN2?FN3?F （1）

变形协调方程：

FN1lFlFl?N2?N3 （2） E1A1E2A2E3A3方程（1）和（2）联立求解，得到：

FE1A1 FN1?E1A1?E2A2?E3A3FN2?FN3?FE2A2

E1A1?E2A2?E3A3FE3A3

E1A1?E2A2?E3A3组合杆的伸长量为：

FlFl ?l?N1?E1A1E1A1?E2A2?E3A3

7.2 在温度为2?C时安装铁轨，两相邻段铁轨间预留的空隙为Δ＝1.2mm。当夏天气温升为40?C时，铁轨内的温度应力为多少？已知：每根铁轨长度为12.5m，E＝200GPa，线膨胀系数?＝12.5×10-6 m/m??C。

解：没有约束情况下，铁轨自由热膨胀时的伸长量

?lT????T?l?12.5?10?6?(40?2)?12.5?5.9375?10?3m?5.9375mm （1）

温度应力引起的铁轨长度变形为

FNl?l??12.5?103?l?????0.0625?mm （温度应力?的单位为MPa） （2）

EAE200?103变形协调条件为

?lT??l??? （3） 方程（1）、（2）和（3）联立求解，可得

??75.8MPa（压应力）

7.3 图示结构中，①、②和③三杆材料与截面相同，弹性模量为E，横截面面积为A，横杆CD为刚体。求三杆所受的轴力。 解：平衡方程

lFN1?FN2?FN3?F （1）

FN1?a?FN3?a?0 （2） ①FN1FN2FFN3②C③DlC ①变形协调方程：

?l2??l1??l3 （3）

②C?l2③?l3DaFa物理方程：

?l1?2FN1l EA?l1F8

1

?l2??l3?FN2l EAFN3l EA代入方程（3），可得补充方程

FN2l2FN1lFN3l???FN2?2FN1?FN3 （4） EAEAEA联立补充方程和平衡方程并求解，可得

232F FN2?F FN3?F 7777.4 图示螺栓通过螺母拧紧套筒。螺栓的螺距为0.65mm，螺栓直径d1=20mm；套筒内径d2=22mm，外径D2=32mm；两者材料相同，E＝200GPa。若将螺帽按拧紧方向再旋转60°，试求螺栓横截面上螺栓的正应力增加多少？不考虑螺母和螺栓头的变形。

解：拧紧螺帽后，螺栓受拉且轴力为FN1，套筒受压且轴力为FN2，

螺母平衡方程为

FN1?FN2?0 （1） 套筒FN1?60?0.65?0.108mm；假设螺360栓伸长?l1，套筒缩短?l2，因而变形协调方程（如图）为 螺母旋进60度后，则总位移为???l1??l2?? （2）

250mm物理方程为： ?l1?FN1lFN1l4Fl??N12 （3） EA1E?1?d2E?d114FN2lFN2l?EA2E?1??D2?d2?224 （4）

4FN2l?E??D22?d22??l2?方程（1）、（2）、（3）和（4）联立求解，可得

FN1?15.641kN

螺栓横截面上的正应力为

F4?15641??N1??49.8MPa

A1??202

7.5 图示的刚性梁由三根钢杆联接，它们的截面积均为A?2.0cm2，钢的弹性模量E=200GPa，其中杆3由于制造误差，其长度比杆1和杆l2短??0.0005l。试求装配后各杆的应力。 解：平衡方程为

FN1?FN2?FN3?0 （1） FN1?a?FN3?a?0 （2）

FN1FN2FN3123δaa

变形协调方程为：?l1???l3????2?l2，即?l1??l3?2?l2?? （3）

8

2

物理方程为

FlF?lFN1l ?l2?N2 ?l3?N3 （4）

①EAEAEA方程（4）代入方程（3），得到补充方程为

?l1?FN1lFN3lFl?EA （5） ??2N2??，即FN1?FN3?2FN2?EAEAEAl?l1补充方程联立平衡方程求解，可得

FN1?FN3?各杆的应力为

③②?l3?l2?EA6l，FN2???EA3l

?1??3??1??E?200000?0.0005l??16.7MPa 6l6lE?200000?0.0005l????33.3MPa 3l3l

7.6 图示结构的三根杆用同一材料制成，弹性模量为E，杆1和杆3的截面积A1?A3?A，杆2的截面积A2?2A。试求载荷F作用下各杆的内力。 解：受力图如下：

故平衡方程为

FN1?FN2cos60??Fcos? （1） FN3?FN2?cos30??Fsin? （2）

根据结构变形图，有

?1?3?l1??cos?60???????cos??sin???2?2???l2??cos? ?3?1?l3??cos?30???????cos??sin???2?2??FN2FN1FN3θF故，变形协调条件为：

13?l1??l3??l2 （3） 22物理方程为

Flcos30?3FN2lFN1lFl，?l2?N2，?l3?N3 （4） ?E?2A3EAEAEA方程（4）代入方程（3），得到补充方程为

?l1?3FN1?33FN3?23FN2 （5）

方程（1）、（2）和（5）联立求解，可得 FN1??443?3sin??33cos?3?9cos??33sin?3cos??33sin?F，FN2?F，FN3?F

223?623?6223?6?????????

7.7 钢管壁厚?1＝2mm，直径d1＝50mm，套在直径为d2＝25mm的实心钢轴外，两端与刚性法兰盘焊接，如图所示。焊接前，轴上加200N·m的扭转力偶，并在焊接过程中保持该状态。焊接完后解除扭转力偶，试求钢管横截面上的扭矩。

8

3

解：焊接前，实心钢轴右端相对于左端的扭转角为?0，扭矩为T0。焊接完后解除初始力偶后，钢管右端相对于左端的扭转角为?1，扭矩为T1；实心钢轴右端相对于左端的扭转角为?2，扭矩为T2。受力平衡方程为:

T1?T2?0 （1）

变形协调方程为：

?1??2??0 （2）

物理方程为：

?1?T1l?GIp1T2lT2lTlT1l20000l???，，?0?0? （3） 2444??50?46???254??25GIp2GIp2G?G?G?323232方程（1）、（2）和（3）联立求解，可得

T1?163.9N?m

7.8 图示两端固定的圆截面实心阶梯轴，承受扭转力偶作用，如图所示。若材料的许用切应力[?]?50MPa，试设计轴的直径D2。 解：平衡方程为

TAB?TBC?Me （1）

变形协调方程为

?AB??BC （2）

物理方程为

?AB?TABlABTl，?BC?BCBC4 （3） 4?D?DG?2G?13232TBC?[?] （4） ?D1316BC段的扭转强度条件：

?BC?方程（1）、（2）、（3）和（4）联立求解，可得：D2?77.2mm，取D2?78mm。

7.9 求图示超静定梁的支反力。设梁的抗弯刚度为EI。 qFABCa(a)AaDa(b)BaCaFABCAMeBl(c)l/2l/2(d)l/2题7.9图

8

4