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【备战2020中考】2019年全国各地中考数学压轴题汇编:几何综合(解析卷)

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  • 2025/7/5 16:42:41

12.(2019?盐城)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N,过点N作NE⊥AB,垂足为E. (1)若⊙O的半径为,AC=6,求BN的长; (2)求证:NE与⊙O相切.

解:(1)连接DN,ON

∵⊙O的半径为,

∴CD=5

∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线, ∴BD=CD=AD=5, ∴AB=10, ∴BC=∵CD为直径

∴∠CND=90°,且BD=CD ∴BN=NC=4

(2)∵∠ACB=90°,D为斜边的中点, ∴CD=DA=DB=AB, ∴∠BCD=∠B, ∵OC=ON, ∴∠BCD=∠ONC, ∴∠ONC=∠B, ∴ON∥AB, ∵NE⊥AB, ∴ON⊥NE, ∴NE为⊙O的切线.

13.(2019?淮安)如图①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点. 小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.

请你帮助小明继续探究,并解答下列问题: (1)当点E在直线AD上时,如图②所示. ①∠BEP= 50 °;

②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是 EC∥AB .

(2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由.

(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.

=8

解:(1)①如图②中,

∵∠BPE=80°,PB=PE, ∴∠PEB=∠PBE=50°, ②结论:AB∥EC.

理由:∵AB=AC,BD=DC, ∴AD⊥BC, ∴∠BDE=90°,

∴∠EBD=90°﹣50°=40°, ∵AE垂直平分线段BC, ∴EB=EC,

∴∠ECB=∠EBC=40°, ∵AB=AC,∠BAC=100°, ∴∠ABC=∠ACB=40°, ∴∠ABC=∠ECB, ∴AB∥EC.

故答案为50,AB∥EC.

(2)如图③中,以P为圆心,PB为半径作⊙P.

∵AD垂直平分线段BC, ∴PB=PC,

∴∠BCE=∠BPE=40°, ∵∠ABC=40°, ∴AB∥EC.

(3)如图④中,作AH⊥CE于H,

∵点E在射线CE上运动,点P在线段AD上运动,

∴当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值=AB=3.

14.(2019?扬州)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10. (1)求证:∠BEC=90°; (2)求cos∠DAE.

(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DC=AB=,AD=BC,DC∥AB,

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12.(2019?盐城)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N,过点N作NE⊥AB,垂足为E. (1)若⊙O的半径为,AC=6,求BN的长; (2)求证:NE与⊙O相切. 解:(1)连接DN,ON ∵⊙O的半径为, ∴CD=5 ∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线, ∴BD=CD=AD=5, ∴AB=10, ∴BC=∵CD为直径 ∴∠CND=90°,且BD=CD ∴BN=NC=4 (2)∵∠ACB=90°,D为斜边的中点, ∴CD=DA=DB=AB, ∴∠BCD=∠B, ∵OC=ON, ∴∠BCD=∠ONC, ∴∠ONC=∠B,

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