【备战2020中考】2019年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(解析卷)

12．（2019?盐城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E． （1）若⊙O的半径为，AC＝6，求BN的长； （2）求证：NE与⊙O相切．

解：（1）连接DN，ON

∵⊙O的半径为，

∴CD＝5

∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5， ∴AB＝10， ∴BC＝∵CD为直径

∴∠CND＝90°，且BD＝CD ∴BN＝NC＝4

（2）∵∠ACB＝90°，D为斜边的中点， ∴CD＝DA＝DB＝AB， ∴∠BCD＝∠B， ∵OC＝ON， ∴∠BCD＝∠ONC， ∴∠ONC＝∠B， ∴ON∥AB， ∵NE⊥AB， ∴ON⊥NE， ∴NE为⊙O的切线．

13．（2019?淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点． 小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： （1）当点E在直线AD上时，如图②所示． ①∠BEP＝ 50 °；

②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是 EC∥AB ．

（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．

（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．

＝8

解：（1）①如图②中，

∵∠BPE＝80°，PB＝PE， ∴∠PEB＝∠PBE＝50°， ②结论：AB∥EC．

理由：∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC， ∴∠BDE＝90°，

∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°， ∵AE垂直平分线段BC， ∴EB＝EC，

∴∠ECB＝∠EBC＝40°， ∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠ABC＝∠ACB＝40°， ∴∠ABC＝∠ECB， ∴AB∥EC．

故答案为50，AB∥EC．

（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．

∵AD垂直平分线段BC， ∴PB＝PC，

∴∠BCE＝∠BPE＝40°， ∵∠ABC＝40°， ∴AB∥EC．

（3）如图④中，作AH⊥CE于H，

∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，

∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．

14．（2019?扬州）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10． （1）求证：∠BEC＝90°； （2）求cos∠DAE．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB＝，AD＝BC，DC∥AB，