广东省东莞市2013届高三数学（理）小综合专题练习：数列

2012届高三理科数学小综合专题练习——数列

参考答案

一、选择题

1．C 2.Ａ 3. D 4. C 5. C 二、填空题 6. 24 7.216 8.

1 9. 35 10.1 3三、解答题

11.解：（1）∵a1?1，?a2?3?1?4，a3?32?4?13。

（2）叠加法。由已知an?an?1?3n?1，

故an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1

=3n?1?3n?23n?1???3?1?.

23n?1所以an?。

2

12.解：（1）设n分钟后第1次相遇，依题意，有

2n?（舍）

n(n?1)?5n?70，整理得n2?13n?140?0，解得n?7，n??202第1次相遇是在开始后7分钟． （2）设n分钟后第2次相遇，依题意，有

2n?n(n?1)?5n?3?70，整理得n2?13n?420?0，解得n?15，2n??28（舍）

第2次相遇是在开始后15分钟．

13.解：（1）设数列{an}的公差为d，由a2?9，a5?21，得a1?d?9，a1?4d?21，

解得a1?5，d?4。因此an?5?(n?1)?4?4n?1。 （2）bn?2

an?24n?1?32?16n?1，所以数列{bn}为等比数列，其中首项b1?32，

32(1?16n)32n?(16?1)。 公比q?16。所以Sn?1?161514.解：（1）基本量法

设等比数列{an}的公比为q，由已知得

11?a?aq?2(?),?11a1a1q? ?111?aq2?aq3?aq4?64(??),111234?aqaqaq?111?a12q?2化简得?26因为a1?0，所以a1?1，q?2。

aq?64?1所以an?2n?1。

（2）分组求和法

bn?(an?12112)?an?2?2?4n?1?n?1?2，因此anan411???n?1)?2n 44Tn?(1?4???4n?1)?(1?n1n4?114???2n?(4n?41?n)?2n?1。

34?11?141?

15.解：（1）基本量法

210S30?(210?1)S20?S10?0， 210(S30?S20)?S20?S10，

101 ○

1式可化为2(30a1?20a1)?20a1?10a1，无解。 当q?1时，○1式可化为当q?1时，○

a1(1?q30)a1(1?q20)a1(1?q20)a1(1?q10)2[?]?[?]，

1?q1?q1?q1?q10解得q?1。 2

因此an?111?n?1?n。 22211，公比q?的等比数列， 22（2）分组求和法，错位相减法

因为?an?是首项a1?11(1?n)2?1?1，nS?n?n。 故Sn?2nnn1221?2则数列?nSn?的前n项和

12nTn?(1?2???n)?(?2???n)，

222Tn112n?(1?2???n)?(2?3???n?1) 22222前两式相减，得

Tn1111n?(1?2???n)?(?2???n)?n?1 22222211(1?n)n(n?1)22?n ??n?11421?2n(n?1)1n?n?1?n?2 即Tn?222

an?12an?2nan??1?bn?1． 16.解：（1）由已知an?1?2an?2得bn?1?n?nn?1，222n又b1?a1?1，因此?bn?是首项为１，公差为１的等差数列． （2）由（1）知

an?n，即an?n?2n?1． n?12Sn?1?2?21?3?22?????n?2n?1，

两边乘以2，得2Sn?2?2?22?3?23?????n?2n， 两式相减得Sn??1?21?22?????2n?1?n?2n

??(2n?1)?n?2n ?(n?1)2n?1．

17.解：（1）?Sn?3Sn?1?2

?Sn?1?3Sn?1?2?1 ?Sn?1?3

Sn?1?1又?S1?1?a1?1?3

?数列?Sn?1? 是以3为首项，3为公比的等比数列.

（2）由（1）得?Sn?1?3?3n?1?3n，?Sn?3n?1

?当n?2时，an?Sn?Sn?1?(3n?1)?(3n?1?1)?2?3n?1

又当n?1时，a1?2也满足上式，

所以，数列?an?的通项公式为：an?2?3n?1

18.解：（1）对任意n?N,都有

*bn?1?11111bn?bn?1??(bn?)24，所以222

111{bn?}b1??32成等比数列,首项为2则，公比为2

bn?1111?3?()n?1bn?3?()n?1?2222 ，

所以

11bn?3?()n?1?22 （2）因为

1)n111nn1n2Tn?3(1??2?...?n?1)????6(1?n)?122222221?2所以

3(1?12k?2n?7(12?n?2T)n因为不等式，

k?化简得

2n?72n对任意n?N*恒成立