高考数学一轮复习 三角函数、解三角形【配套文档】第四章4.3

ππ?x＋π?，求函数f(x)在区间?－π，π?上2x－?＋2sin?x－?·(2)已知函数f(x)＝cos?sin3???4??4??122?的最大值与最小值．

解 (1)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在 同一坐标系中画出[0,2π]内y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所 π5π

示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余

44π5π

弦函数的周期是2π，所以定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

4413

(2)由题意得：f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)·(sin x＋cos x)

2213

＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x 22π13

2x－?. ＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin?6??22πππ5ππ

－，?，∴2x－∈?－，?， 又x∈??122?6?36?π3

2x－?∈?－，1?. ∴sin?6??2??π

故当x＝时，f(x)取最大值1；

3π3

当x＝－时，f(x)取最小值－.

122题型二 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： π

－2x＋?；(2)y＝|tan x|. (1)y＝sin?3??

π

2x－?，再求单调区间及周期．(2)由y＝tan x的图象→y思维启迪：(1)化为y＝－sin?3??＝|tan x|的图象→求单调性及周期． π

2x－?， 解 (1)y＝－sin?3??

π

2x－?的减区间， 它的增区间是y＝sin?3??π

2x－?的增区间． 它的减区间是y＝sin?3??πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

232

π5π

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

1212ππ3π

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

2325π11π

得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.

1212

π5π

kπ－，kπ＋?，k∈Z； 故所给函数的减区间为?1212??5π11π

kπ＋，kπ＋?，k∈Z. 增区间为?1212??2π

最小正周期T＝＝π.

2

ππ

kπ，kπ＋?，k∈Z，减区间是?kπ－，kπ?，(2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是?2?2???k∈Z.最小正周期T＝π.

探究提高 (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) (其中A≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则：①把“ωx＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A>0 (A<0)时，所列不等式的方向与y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．

(2)对于y＝Atan(ωx＋φ) (A、ω、φ为常数)，其周期T＝

π

，单调区间利用ωx＋|ω|

ππ

kπ－，kπ＋?，解出x的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y＝f(v)，vφ∈?22??＝φ(x)，其单调性的判定方法：若y＝f(v)和v＝φ(x)同为增(减)函数时，y＝f(φ(x))为增函数；若y＝f(v)和v＝φ(x)一增一减时，y＝f(φ(x))为减函数．

(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．

ππ

＋4x?＋cos?4x－?的周期、单调区间及最大、最小值． 求函数y＝sin?6??3??

πππ

＋4x?＋?－4x?＝， 解 ∵??3??6?2ππ

4x－?＝cos?－4x? ∴cos?6???6?πππ

＋4x??＝sin?＋4x?. ＝cos?2－??3??3?

??

π2ππ4x＋?，周期T＝＝. ∴y＝2sin?3??42

πππ

当－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)时，函数单调递增，

232

5πkππkπ

－＋，＋? (k∈Z)． ∴函数的递增区间为??242242?ππ3π

当＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ (k∈Z)时，函数单调递减， 232πkπ7πkπ?∴函数的递减区间为??24＋2，24＋2?(k∈Z)． πkπ

当x＝＋ (k∈Z)时，ymax＝2；

2425πkπ

当x＝－＋ (k∈Z)时，ymin＝－2.

242题型三 三角函数的对称性与奇偶性

π

|φ|≤?的图象关于直线x＝例3 (1)已知f(x)＝sin x＋3cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ) ?2??0对称，则φ的值为________．

4π?

(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点??3，0?中心对称，那么|φ|的最小值为

( )

πA. 6

πB. 4

πC. 3

πD. 2

π

答案 (1) (2)A

6

πx＋?， 解析 (1)f(x)＝2sin??3?π

x＋＋φ?图象关于x＝0对称， y＝f(x＋φ)＝2sin??3?即f(x＋φ)为偶函数．

πππ

∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z， 326ππ又∵|φ|≤，∴φ＝. 26

4π2π

2×＋φ?＝3cos?＋φ＋2π? (2)由题意得3cos?3???3?2π

＋φ?＝0， ＝3cos??3?∴

2πππ

＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z， 326

π

取k＝0，得|φ|的最小值为.故选A.

6

探究提高 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值． 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.

π

如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求x.

2如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可．

a ? (1)定义运算??c

对称轴方程是 5π

A．x＝

6π

C．x＝

3答案 A

?3 3sin x?

?＝ad－bc，则函数f(x)＝??的图象的一条d??1 cos x?

( )

2πB．x＝

3π

D．x＝

6

b?

?3 3sin x?

解析 f(x)＝??＝3cos x－3sin x

?1 cos x?

πx＋?. ＝23cos??6?

5ππ?5π

所以当x＝时，f(x)＝23cos??6＋6?＝－23. 6

(2)若函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx (0<ω<5，ab≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝π?函数f′(x)的图象的一个对称中心是??8，0?，则f(x)的最小正周期是________． 答案 π

π?22解析 由题设，有f??4ω?＝±a＋b， 即

2

(a＋b)＝±a2＋b2，由此得到a＝b. 2

π，4ω

π??cos ωπ－sin ωπ?＝0， 又f′?＝0，∴aω88??8??从而tan

ωπωππ

＝1，＝kπ＋，k∈Z， 884

即ω＝8k＋2，k∈Z，而0<ω<5，∴ω＝2， π

2x＋?， 于是f(x)＝a(sin 2x＋cos 2x)＝2asin?4??故f(x)的最小正周期是π.

方程思想在三角函数中的应用