高考数学一轮复习 三角函数、解三角形【配套文档】第四章4.3

§4.3 三角函数的图象与性质

2014高考会这样考 1.考查三角函数的图象：五点法作简图、图象变换、图象的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想． 复习备考要这样做 1.会作三角函数的图象，通过图象研究三角函数的性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论其图象、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．

1．“五点法”作图原理

在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、

?π，1?、(π，0)、?3π，－1?、(2π，0)．余弦函数呢？

?2??2?

2．三角函数的图象和性质 函数性质 定义域 y＝sin x R y＝cos x R y＝tan x π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2图象 值域 [－1,1] 对称轴：x＝kπ＋对称性 π2[－1,1] 对称轴：x＝kπ(k∈Z)；π对称中心：(kπ＋，0) 2(k∈Z) 2π R kπ?对称中心：??2，0?(k∈Z) π (k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 周期 2π π单调增区间[2kπ－，2π2kπ＋](k∈Z)；单调2π减区间[2kπ＋，2kπ2＋3π] (k∈Z) 2奇函数 单调增区间[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)； 单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 单调性 π单调增区间(kπ－，2πkπ＋)(k∈Z) 2奇偶性 偶函数 奇函数

[难点正本 疑点清源] 1．函数的周期性

若f(ωx＋φ＋T)＝f(ωx＋φ) (ω>0)，常数T不能说是函数f(ωx＋φ)的周期．因为f(ωx

?x＋T?＋φ?，即自变量由x增加到x＋T，T是函数的周期． ＋φ＋T)＝f?ω??ω??ωω

2．求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用sin x、cos x的有界性；

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

1．设点P是函数f(x)＝sin ωx (ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称π

轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是________．

4答案 π

1

解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的，故

4π

f(x)的最小正周期为T＝4×＝π.

4

π

x＋?的最大值为______，此时x＝__________________. 2．y＝2－3cos??4?3

答案 5 π＋2kπ，k∈Z

4

πππ

x＋?＝－1时，函数y＝2－3cos?x＋?取得最大值5，此时x＋＝π＋解析 当cos??4??4?43

2kπ (k∈Z)，从而x＝π＋2kπ，k∈Z.

4

π

x－?的图象的一条对称轴是 3．(2012·福建)函数f(x)＝sin??4?π

A．x＝

4答案 C

解析 方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， ππ3π

故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.

424π

取k＝－1，则x＝－. 4

π

B．x＝

2

π

C．x＝－

4

( )

π

D．x＝－

2

方法二 用验证法．

ππ?π

x＝时，y＝sin??4－4?＝0，不合题意，排除A； 4ππ?π2

－＝，不合题意，排除B； x＝时，y＝sin??24?22πππ

－－?＝－1，符合题意， x＝－时，y＝sin??44?4C项正确；

πππ2

－－?＝－，不合题意，故D项也不正确． x＝－时，y＝sin??24?22π?

4．函数y＝tan??4－x?的定义域为

( )

π

A．{x|x≠kπ－，k∈Z}

4π

C．{x|x≠kπ＋，k∈Z}

4答案 A

ππ

解析 令－x≠kπ＋，k∈Z，

42π

∴x≠kπ－，k∈Z.

4

5．给出下列四个命题，其中不正确的命题为 ①若cos α＝cos β，则α－β＝2kπ，k∈Z； ππ

2x＋?的图象关于x＝对称； ②函数y＝2cos?3??12③函数y＝cos(sin x)(x∈R)为偶函数； ④函数y＝sin|x|是周期函数，且周期为2π. A．①② 答案 D

ππ

2x＋?＝解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x＝，cos?3??12πππ

2x＋?的对称轴；命题④：函数y＝sin|x|不是周期cos ＝0，故x＝不是y＝2cos?3??212函数．

B．①④

C．①②③

D．①②④

( )

π

B．{x|x≠2kπ－，k∈Z}

4π

D．{x|x≠2kπ＋，k∈Z}

4

题型一 三角函数的定义域、值域问题

例1 (1)求函数y＝lg sin 2x＋9－x2的定义域； π

|x|≤?的最大值与最小值． (2)求函数y＝cos2x＋sin x ?4??

思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数．

??2kπ<2x<2kπ＋π，k∈Z，?sin 2x>0

解 (1)由?，得? 2≥09－x???－3≤x≤3.

ππ∴－3≤x<－或0

22∴函数y＝lg sin 2x＋

ππ

9－x2的定义域为{x|－3≤x<－或0

22

π22

(2)令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈?－，?.

42??215t－?2＋， ∴y＝－t2＋t＋1＝－??2?415

∴当t＝时，ymax＝，

24t＝－

1－22

时，ymin＝. 22

1－2π5

∴函数y＝cos2x＋sin x(|x|≤)的最大值为，最小值为.

442

探究提高 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；

②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

(1)求函数y＝sin x－cos x的定义域；