初三数学竞赛辅导教程

10. 设a，b，c，d是四个整数。且使得m??ab?cd??2212a?b2?c2?d2是一个非零4??整数，求证：m一定是合数.

11. （1）用?x?表示不超过x的最大整数，对于任意实数x，求证：?x???x????2x?

2??1??（2）求M???2

?20101??20101??20101?????2???????2010??的值 2??22?2??212. 试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx??r?2?x?3r?2?0有根且只有整数根.

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2.1 不定方程 一、例题讲解

例1. 求满足方程?x?3??y2??x?y??3的所有实数对?x，y?.（2010新知杯第2题）

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例2. 不定方程x2?y2?xy?2x?2y的整数(x,y)解共有多少组？（2015大同杯第7题）

例3. 求方程

二、练习题 1. 求不定方程

1113??2?的整数解?x,y?.（2000弘晟杯第8题） xyxy4x?5?y?0的整数解 x?2

2. 方程xyz=2009的所有整数解有多少组？（2009新知杯第8题）

3. 方程

231??，a、b都是正整数，求该方程的正整数解. ab44. 已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c，a?b?c?111，b2?ac，求b.（2015全国初中数学联赛填空第4题）

5. 已知三整数a、b、c之和为13且b?c，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的

abb与c的值.

6. 已知k为整数，若关于x的二次方程kx??2k?3?x?1?0有有理根，求k值.

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227. 已知正整数a，b，c满足a?b?2c?2?0，3a?8b?c?0，求abc的最大值.（2013

全国数学联赛第一试填空第8题）

2.2 特殊方程（组）的解法 一、例题讲解

?xy???例1. 已知a是不为0的实数，求解方程组：??xy???

x?ay（2013新知杯第10题） y1?xa?ab?2?a?b??例2. 设a、b、c均为非零数，解方程组：?bc?3?b?c?

?ac?4?a?c??

?3x?2y?z?a,x、y、z例3. 关于的方程组?有实数解(x,y,z)，求正实数a的最小

xy?2yz?3zx?6?值．（2006新知杯第三题）

例4. 解方程：22x?x?7??2x?x?7?13?3x