高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质学案含解析新人教A版选

2．2.2 双曲线的简单几何性质

[提出问题]

已知双曲线C1的方程：－＝1.

916

问题1：双曲线C1中的三个参数a，b，c的值分别为多少？ 提示：3,4,5.

问题2：试画出双曲线C1的草图？ 提示：如图所示：

x2y2

问题3：观察双曲线C1的图象，曲线与x轴、y轴哪一条轴有交点？有无对称性？ 提示：与x轴有交点，有对称性． [导入新知]

1．双曲线的几何性质

标准方程 x2y2－＝1 a2b2(a＞0，b＞0) y2x2－＝1 a2b2(a＞0，b＞0) 图形 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴 F1(－c,0)，F2(c,0) |F1F2|＝2c F1(0，－c)，F2(0，c) x≤－a或 x≥a， y∈R y≤－a或 y≥a， x∈R 性质 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b 1

离心率 渐近线 2．等轴双曲线

ce＝∈(1，＋∞) aby＝±x aay＝±x b实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝2. [化解疑难]

对双曲线的简单几何性质的几点认识

(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．

x2y2

(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程2－2＝1(a＞

abx2y222

0，b＞0)，得2＝1＋2≥1，∴x≥a，∴|x|≥a，即x≤－a或x≥a.

ab(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．

x2y2

(4)对称性：由双曲线的方程2－2＝1(a＞0，b＞0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，

ab则P1(－x，y)，P2(x，－y)均在双曲线上，因P与P1，P2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．

双曲线的几何性质 [例1] 求双曲线9y－4x＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．

[解] 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，

94∴a＝9，b＝4， ∴a＝3，b＝2，c＝13. 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝2

2

22x2y2

ca13， 3

2

2

渐近线方程为y＝±x.

3[类题通法]

已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，

b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何

性质．

[活学活用]

求双曲线9x－16y＋144＝0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．

解：把方程9x－16y＋144＝0化为标准方程为

2

2

2

2

y2

9

－

x2

16

＝1.

由此可知，实半轴长a＝3； 虚半轴长b＝4；

c＝a2＋b2＝9＋16＝5，

焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；

c5

离心率e＝＝；

a3

a3

渐近线方程为y＝±x＝±x.

b4

双曲线的草图如图．

利用双曲线的几何性质求其标准方程 [例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程： 5

(1)虚轴长为12，离心率为；

4

3

(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.

2[解] (1)设双曲线的标准方程为

x2y2y2x2

－＝1或2－2＝1(a＞0，b＞0)． a2b2abc5222

由题意知2b＝12，＝且c＝a＋b，

a4

3

∴b＝6，c＝10，a＝8，

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

643664363

(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为

2

x2y2y2x2

x2y2

4

－＝λ(λ≠0)， 9

2

当λ＞0时，a＝4λ， 9

∴2a＝24λ＝6?λ＝.

4当λ＜0时，a＝－9λ， ∴2a＝2－9λ＝6?λ＝－1.

∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

98194[类题通法]

(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c＝a＋b及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．

2

2

2

2

x24y2y2x2

cabx2y2

(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为2－2＝

aabλ(λ≠0)．

[活学活用]

分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e＝

2

2

10. 3

(3)与双曲线x－2y＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．

x2y2

解：(1)设双曲线的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．

ab由已知得a＝3，c＝2，再由a＋b＝c， 得b＝1.

故双曲线C的标准方程为－y＝1.

310c10

(2)由e＝，得2＝，

9a9

2

2

2

2

2

2

x2

2

设a＝9k(k＞0)，

4

2