专题五 概率与统计(文理)第2讲 概率、随机变量及其分布列(理)

专题五 概率与统计 第2讲 概率、随机变量及其分布列 考向预测 1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度；

2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”．

知识与技巧的梳理 1.概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式.

m事件A中所含的基本事件数P(A)＝＝. n试验的基本事件总数(2)几何概型的概率公式.

构成事件A的区域长度（面积或体积）P(A)＝.

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）(3)条件概率.

在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝

P（AB）

. P（A）

(4)相互独立事件同时发生的概率：若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B). (5)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)， P(A)＝1－P(A).

2.独立重复试验与二项分布

k如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknp(1

－p)nk，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数，则X服从二项分布，即X～

－

knkB(n，p)且P(X＝k)＝Ck. np(1－p)

－

3.超几何分布

n?kCkMCN?M在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，nCNm，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N，此时称随机变量X服从超几何分布.超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n. 4.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量ξ的分布列为：

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*

ξ P x1 p1 x2 p2 x3 p3 … … xi pi … … n pn 离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n).

(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值.

D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做随机变量ξ的方差. (3)数学期望、方差的性质.

①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ). ②X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). ③X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).

热点题型 热点一 随机变量的分布列、均值与方差

【例1】 (2017·郴州二模)某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

(1)求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；

(2)用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列、数学期望与方差.

解 (1)由频率分布直方图可知，日销售量不低于8吨的频率为2×(0.125＋0.075)＝0.4，记未来3天内，第i天日销售量不低于8吨为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(Ai)＝0.4，未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨包含两个互斥事件A1A2A3和A1A2A3，则未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率：

P(A1A2A3∪A1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192. (2)由(1)知，第i天日销售量不低于8吨的概率P(Ai)＝0.4. 依题意，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，0.4)， P(X＝0)＝(1－0.4)3＝0.216，

2P(X＝2)＝C230.4×(1－0.4)＝0.288，

2

P(X＝1)＝C130.4×(1－0.4)＝0.432，

P(X＝3)＝0.43＝0.064，

所以X的分布列为：

X P 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 E(X)＝3×0.4＝1.2，D(X)＝3×0.4×(1－0.4)＝0.72. 探究提高 1.求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列.

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2.对于实际问题中的随机变量X，如果能够断定它服从二项分布B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用

knk

公式P(X＝k)＝Ck(k＝0，1，2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求得. np(1－p)

－

【训练1】 (2017·西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车票，推出三种购票方式：窗口购票、电话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式.若甲、乙、丙3名旅客都准备购买火车票，并且这3名旅客选择购票的方式是相互独立的.

(1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率；

(2)记这三名旅客购票方式的种数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

解 (1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件A，“三名旅客都选择网上购票”为事件B，且A，B互斥. 则

2

P(A)＝C3×

?1?×2＝2，P(B)＝?1?＝1. ?3?39?3?27

23

7

因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率P＝P(A)＋P(B)＝.

27(2)由题意，ξ的所有可能取值为1，2，3， 则

P(ξ＝1)＝C13×

?1?＝1；

?3?9

3

P(ξ＝2)＝C23×

1?2

＝A×??3?3；

233

P(ξ＝3)＝A33×

?1?＝2. ?3?9

3

所以随机变量ξ的分布列为：

ξ P 12219故ξ的期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.

9399

热点二 概率与统计的综合问题

【例2】 (2017·衡阳联考)当今信息时代，众多高中生也配上了手机，某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，用茎叶图表示如下图(记60分为及格)：

1 1 92 2 33 2 9

(1)根据茎叶图中数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？

很少使用手机 经常使用手机 及格 不及格 总计 第 3 页 共 11 页

总计 (2)从50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数列题，甲、乙独立解决此题的概率分别为p1，p2，且p2＝0.4，若p1－p2≥0.3，则此二人适合结为学习上互帮互助的“师徒”，记X为两人中解决此题的人数，若E(X)＝1.12，问两人是否适合结为“师徒”？ n（ad－bc）2

（参考公式及数据：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d）

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

2

P(K2≥k0) k0 解 (1)由茎叶图数据，得2×2列联表： 很少使用手机 经常使用手机 总计 2

0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 及格 20 10 30 不及格 7 13 20 总计 27 23 50 50（20×13－10×7）2由列联表可得：K＝≈4.844>3.841，

30×20×27×23所以有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响. (2)依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2.

则P(X＝0)＝(1－p1)(1－p2)，P(X＝1)＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)，P(X＝2)＝p1p2， ∴随机变量X的分布列为：

X P 0 (1－p1)(1－p2) 1 (1－p1)p2＋p1(1－p2) 2 p1p2 ∴E(X)＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)＋2p1p2＝p1＋p2＝1.12，所以p1＝1.12－p2＝0.72， 因此p1－p2＝0.72－0.4＝0.32≥0.3，两人适合结为“师徒”.

探究提高 本题考查统计与概率的综合应用，意在考查考生的识图能力和数据处理能力.此类问题多涉及相互独立事件、互斥事件的概率，在求解时，要明确基本事件的构成.

【训练2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2).

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

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