2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调考文科数学试题

武昌区2016届高三年级五月调研考试

文科数学试题及参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的． 1．设集合A?{x|x2?x}，B?{?1,0,1}，则集合A?B的子集共有（ C ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 2．若复数(m2?i)(1?mi)是实数，则实数m?( B )

A．1 B．?1 C．2 D．?2

?y?2x,3．若变量x，y满足约束条件??x?y?1,则z?x?2y的最大值是( C )

?y??1,?A．?555 B．0 C． D． 2234．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D ) A．

2239 B． C． D． 351052x2y25．已知抛物线y?8x的准线过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点，且双曲线的一条

ab渐近线方程为3x?y?0，则该双曲线的方程为( B )

x2y2x2y2x2y222A．?y?1 B．x??1 C．??1 D．??1

3362266．已知sin??cos??2，??(0,?)，则tan??( A )

A．?1 B．1 C．?3 D．3 7．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8， 则判断框内可填入的条件是( B ) 3A．S??

4开始 S=0，k=0 S ?S?B．S?11? 121 k25C．S??

24k=k+2 是 否 1?2D．S?137? 120输出k 8．设a?log32，b?ln2，c?5，则( C )

结束 高三文科数学试题参考答案及评分细则 第1页（共6页）

A．a?b?c B．b?c?a C．c?a?b D．c?b?a 9．下面是关于公差d?0的等差数列{an}的四个命题：

p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列； ap3：数列{n}是递增数列； p4：数列{an?3nd}是递增数列．

n其中的真命题为( D )

A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 5 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表面积为( B) A．54 B．60 C．66 D．72

2 4 正视图

3 侧视图

俯视图

11．动点A(x，y)在圆x2?y2?1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已

13知时间t?0时，点A的坐标是(,)，则当0?t?12时，动点A的纵坐标y关于t（单

22位：秒）的函数的单调递增区间是( D )

A．[0,1] B．[1,7] C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]

x2y2312．已知椭圆Γ：2?2?1(a?b?0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的

ab2直线与Γ相交于A，B两点．若AF?3FB，则k?( B ) A．1 B．2 C．3 D．2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知点P(?1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1,?1)．若向量PQ与向量a?(λ，1)共线，

则λ? ．

2 3a3?3，a5?5构成公比为q的等比数列，14．已知数列{an}是等差数列，若a1?1，则q? ．

答案：? 答案：1

15．已知直三棱柱ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB?AC?AABAC? 1?2，??90?，则该球的体积等于 ．

答案：43?

16．函数f(x)?sinx?cosx?x?1在[3?7?,]上的最大值为 ． 44答案：??2

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA?3acosB．

高三文科数学试题参考答案及评分细则 第2页（共6页）

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b?3，sinC?2sinA，求a，c．

解：（Ⅰ）由bsinA＝3acosB及正弦定理，得sinBsinA＝3sinAcosB．

在△ABC中，sinA≠0，

∴sinB＝3cosB，∴tanB＝3．

π

∵0＜B＜π，∴B＝．……………………………………………………………6分

3（Ⅱ）由sinC＝2sinA及正弦定理，得c＝2a． ①

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得

π

32＝a2＋c2－2accos，即a2＋c2－ac＝9． ②

3

解①②，得a＝3，c＝23．……………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

某工厂36名工人的年龄数据如下表：

工人编号 年龄 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 工人编号 年龄 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16 39 17 38 18 36 工人编号 年龄 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 工人编号 年龄 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39 （Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；

（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值x和方差s2；

（Ⅲ）求这36名工人中年龄在(x?s,x?s)内的人数所占的百分比．

解：（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人．

由题意可知，抽取的样本编号依次为：2，6，10，14，18，22，26，30，34， 对应样本的年龄数据依次为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．……4分 44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37

（Ⅱ）由（Ⅰ），得-x＝＝40，

9

1

s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－

940)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝

100

．…………………………………………8分 9

1021

（Ⅲ）由（Ⅱ），得-x＝40，s＝，∴-x－s＝36，-x＋s＝43，

333

23

由表可知，这36名工人中年龄在(-x－s，-x＋s)内共有23人，所占的百分比为×36

100﹪≈63.89﹪．…………………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

如图，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点，Q为PA的中点，G为?AOC的重

高三文科数学试题参考答案及评分细则 第3页（共6页）

心，AB是圆O的直径，且AB?2AC?2．

（Ⅰ）求证：QG//平面PBC；

（Ⅱ）求G到平面PAC的距离． 解：（Ⅰ）如图，连结OG并延长交AC于M，连结QM，QO． P ∵G为△AOC的重心，∴M为AC的中点． ∵O为AB的中点，∴OM∥BC．

Q ∵OM?平面PBC，BC?平面PBC，∴OM∥平面PBC． 同理QM∥平面PBC．

又OM?平面QMO，QM?平面QMO，OM∩QM＝M， O A ∴平面QMO∥平面PBC． M G C ∵QG?平面QMO，

∴QG∥平面PBC．…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC．

由（Ⅰ），知OM∥BC，∴OM⊥AC．

∵PA⊥平面ABC，OM?平面ABC，∴PA⊥OM． 又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC＝A，

∴OM⊥平面PAC，∴GM就是G到平面PAC的距离． 由已知可得，OA＝OC＝AC＝1，

∴△AOC为正三角形，∴OM＝

3． 2

B 13

又G为△AOC的重心，∴GM＝OM＝．

36故G到平面PAC的距离为

3

．…………………………………………………12分 6

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y?2x?4．设圆C的半径为1，圆心在l上．

（Ⅰ）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （Ⅱ）若圆C上存在点M，使|MA|?2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

解：（Ⅰ）由题设，圆心C是直线y＝2x－4与直线y＝x－1的交点，

?y＝2x－4，?

由?解得C(3，2)，于是切线的斜率必存在． ??y＝x－1．

设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，

|3k＋1|3

由题意，2＝1，解得k＝0，或k＝－．

4k＋1

3

故所求切线方程为y＝3，或y＝－x＋3，即y＝3，或3x＋4y－12＝0．……4分

4（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线y＝2x－4上，

∴圆C的方程为(x－a)2＋[y－(2a－4)]2＝1．

设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，得x2＋(y－3)2＝2x2＋y2， 化简，得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4， ∴点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M(x，y)在圆C上，

高三文科数学试题参考答案及评分细则 第4页（共6页）