人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算导学案(1)

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1．向量的有关概念

(1)向量是如何定义的？

1____________________________________________ 提示：□2________的． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是□3____________的向量． (3)单位向量：长度等于□4__________的非零向量． (4)平行向量：方向□5________且方向□6________的向量． (5)相等向量：长度□7________且方向□8________的向量． (6)相反向量：长度□温馨提醒：零向量和单位向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．

2．向量的加法与减法 (1)加法

①向量的加法服从哪两种运算法则？

9____________________________________________ 提示：□②向量的加法满足哪两种运算律？

10____________________________________________ 提示：□(2)减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则．

温馨提醒：(1)利用三角形法则进行加法运算时，两向量要首尾相连，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点．

(2)利用三角形法则进行减法运算时，两个向量要有相同的起点，然后连接两向量的终点，并指向被减向量即为差向量．

3．实数与向量的积 (1)|λa|＝|λ||a|.

11________时，λa与a的方向相同；当□12________时，λa与a的方向相反；当(2)当□λ＝0时，λa＝0.

(3)运算律：设λ，μ∈R，则： 13________； ①λ(μa)＝□②(λ＋μ)a＝14□________；

.

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15________． ③λ(a＋b)＝□4．两个向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得16□________． 温馨提醒：向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形． 双基自测

→

1． D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于 ( )． →1→

A．－BC＋BA

2→1→

C. BC－BA

2

→1→B．－BC－BA

2

→1→D. BC＋BA

2

2．判断下列四个命题：

①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.

正确的个数是 ( )． A．1 B．2 C．3 D．4

3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ( )． →→→→→→A.EF＝OF＋OE B.EF＝OF－OE →→→→→→C.EF＝－OF＋OE D.EF＝－OF－OE

→→→

4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝ ( )． A．0

→→B.BE C.AD

→D.CF

5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.

考向一 平面向量的概念

【例1】下列命题中正确的是( )． A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 【训练1】 给出下列命题：

→→

①若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ②若a＝b，b＝c，则a＝c；

③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

.

④若a与b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等． 其中正确命题的序号是________．

考向二 平面向量的线性运算

【例2】如图，

D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )．

A.→AD＋→BE＋→CF＝0 B.→BD－→CF＋→DF＝0 C.→AD＋→CE－→CF＝0 D.→BD－→BE－→FC＝0

【训练2】 在△ABC中，→AB＝c，→AC＝b，若点D满足→BD＝2→DC，则→

AD＝A.23b＋13c B.53c－23b C.23b－13c D.123b＋3c

考向三 共线向量定理及其应用

【例3】?设两个非零向量a与b不共线．

(1)若→AB＝a＋b，→BC＝2a＋8b，→

CD＝3(a－b)． 求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

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)．

(

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→→

【训练3】已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，

C三点共线的充要条件是( )．

A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 基础达标演练 一、选择题

1．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )．

A、→AB＝→DC B、.→AD＋→AB＝→AC C、→AB－A→D＝→BD D、→AD＋→CB＝0 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．设P是△ABC所在平面内的一点，→BC＋→BA＝2→

BP，则( )． A.→PA＋→

PB＝0 B.→PC＋→PA＝0 C.→PB＋→

PC＝0

D.→PA＋→PB＋→PC＝0

4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若→AD＝2→DB，→CD＝1→→

3CA＋λCB，则λ＝( A.2

3

B.1

3

C．－13

D．－23

二、填空题

5．在?ABCD中，→AB＝a，→AD＝b，→AN＝3→

NC，M为BC的中点，则 →

MN＝________.(用a，b表示)

6．给出下列命题：

①向量→AB的长度与向量→

BA的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量→AB与向量→

CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．

.

)．