2007高中数学新题型选编

1、已知函数y=f(x)满足f?3?x??f?3?x?，且方程f(x)=0有n个实根x1,x2,…xn,则x1+x2+…+xn= 3n 。

解：由f?3?x??f?3?x?可得y=f(x)的图像图像关于x=3对称。

当n为偶数时，方程f(x)=0有n个实根x1,x2,…xn两两成对出现，且成对两根之和为6， 所以x1+x2+…+xn=6×

n=3n 2当n为奇数时，方程f(x)=0有n个实根中必有一根为3，其余n-1个根两两成对出现，且成对两根之和为6，所以x1+x2+…+xn=3+3（n-1）=3n 故x1+x2+…+xn=3n。

2、对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色

中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．则共有 30 种不同的染色方法。

解：记凸五边形的各边分别为①、②、③、④、⑤ 第一步：将五边分成三组且相邻边不在同一组，则有 ①、②④、③⑤ ②、①④、③⑤ ③、①④、②⑤ ④、①③、②⑤ ⑤、①③、②④ 故共有五组

第二步：将三种颜色对应三组进行全排列A33=6 由分步计数原理得共有5×6=30种。

3、如图1，设P、Q为△ABC内的两点，且AP?21AB+AC则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 ( B ) 341411 A. B. C. D.

554321AB?AC， 55AQ=

CC Q AQPBANMPB 图1 图2 解：如图2设AM?21AB,AN?AC则AP?AM?AN由平行四边形法则知NP∥AB，55所以

?ABQ1?ABPAN1?。 ?=，同理可得

?ABC4?ABCAC5故

?ABP4?即选B.

?ABQ54、设x>1，S=min｛logx2，log2（4x3）｝则S的最大值为 3 。 解：由题设知S? logx2，S? log2（4x3），且S>0则 S? log2（4x3）=2+3log2x=2+

33?2+，

Slogx2于是S2-2S-3?0得-1?S?3当x=32时取等号。

5、在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，C点在AB上且OC是∠AOB的角平分线,则OC= （-

13，） 。 22解：由题设知OA=（0，1），OB=（-3，4） OC是∠AOB的角平分线

?可设OC=?（

又C点在AB上

OAOA?OBOB）=?OA+

1?OB 515?=1解得?= 565113故OC=OA+OB=（-，）

66226、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（D ） （A）1001 （B）1010 （C）1011 （D）1013

所以?+

2解：当正整数为两位数时，有C10个 3当正整数为三位数时，有C10个

………

10当正整数为十位数时，有C10个

231010由分类计数原理得共有正整数C10+C10+…+C10=210-C10-C10=1013

故选D。

7、已知sin(2???)?3sin?,设tan??x,tan??y,记y?f(x) (1)求证：tan?????=2tan? (2)求f(x) 的表达式;

(3)定义正数数列｛an｝;a1=2，

?1?11?f?N=2（n）。 ???2an?1an?an?

试求数列{an}的通项公式。

解：（1）由sin(2???)?3sin?，得sin?????????=3sin??????????? ，即 sin?????cos?=2cos?????sin? 故tan?????=2tan? （2）由tan?????=2tan?得

tan??tan?x?y?2tan? 即?2x。解得

1?tan?tan?1?xyy=

xx??故= fx221?2x1?2x?1?111?f??=2?（3）因为2=2，

1aan?1ana?n?n1?22an2所以an?1=

1an12122-2=（an+1即ana?1n-2）

22

2因此{an-2}是首项为2，公比为

n?11的等比数列。 2n?2?1?所以a-2=2???2?2n?1?故an=???2??2。

8、平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足

OC??OA??OB,其中?、??R,且??2??1

（1）求点C的轨迹方程；

x2y2（2）设点C的轨迹与椭圆2?2?1(a?b?0)交于两点M、N，且以MN为直径的

ab11圆过原点，求证：2?2为定值;

ab3（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于，求椭圆实轴长的取值范围.

2解：（1）设C(x,y),因为OC??OA??OB,则(x,y)??(1,0)??(0,?2) ?x???????2??1?x?y?1

y??2??即点C的轨迹方程为x+y=1 。

?x?y?1?（2）由?x2 得：（a2+b2）x2-2a2x+ a2- a2b2=0 y2?2?2?1b?a设M（x1,y1）,N（x2,y2），则“

2a2a2?a2b2x1+ x2=2， x1x2= 222a?ba?b因为以MN为直径的圆过原点为， 所以OM?ON=0，即x1x2+y1y2=0

2a2a2?a2b2∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+ x2）+2 x1x2=1-2+22=0

a?b2a?b2即a2+b2-2 a2b2=0 ∴

11??2为定值; 22ab

3a2?b2311a222?e??,?2?2?2,?b?2（3）?e? 24aa2b2a?11310?1?2?,即2a2?1?4,?0?a?,从而0?2a?10

22a?14∴椭圆实轴长的取值范围是（0,10]。