北师大版九年级第二学期期中数学试题

得 分 （本题满分10分）

评卷人 22.

某商店购进一批进价为每件20元的日用商品，试销阶段每件商品的销售单价x（元 ∕ 件）与半月销售量y（件）之间满足的关系如下表： x（元 ∕ 件） 30 31 32 … y（件） 400 380 360 … 若半月销售量y是销售单价x的一次函数. （1）试求出y与x之间的函数关系式；

（2）该商店半月获得的总利润为W元，求W与x之间的函数关系式；当销售单价定为多少元时，才能在半月内获得最大利润？

（3）若物价部门规定，该商品销售单价不得高于34元/件，如果该商店想要半月内获得的利润不低于4000元，那么成本最少需要多少元？

九年级数学试题第9页（共12页）

得 分

评卷人 23. （本题满分10分）

数学上，称按一定顺序排列的一列数为数列，其中排在第一位的数称为第一项，用a1表示；排在第二位的数称为第二项，用a2表示；…；排在第n位的数称为第n项，用an表示,并称an为数列的通项.如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差. 公差通常表示为d.

（1）根据以上表述，可得：a2= a1＋d；a3= a1＋2d；a4= a1＋3d；…；则通项 an= ；

（2）已知数列8 , 5 , 2 ，…为等差数列，请判断－100是否是此等差数列的某一项，若是，请求出是第几项;若不是，说明理由；

（3）200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出1＋2＋3＋…＋100的值.我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1,2,3，…，n,…的前n项和：

由

1 ＋ 2 ＋ … ＋ n－1 ＋ n n ＋ n－1 ＋ … ＋ 2 ＋ 1 （ n＋1）＋（n＋1） ＋ … ＋（n＋1）＋（n＋1）

可知1＋2＋3＋…＋n=

(n?1)?n2. 请你仿照上面的研究方式，解决下面的问题：

若a1，a2，a3 ，…，an为等差数列的前n项，前n项和Sn= a1＋a2＋a3 ＋…＋an.

证明: s1)n?na1?n(n?2d. 九年级数学试题第10页（共12页）

（4）连接DE，是否存在某一时刻t，使点F在线段DE的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

得 分 24. （本题满分12分）

评卷人

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4cm，BC=CD=10cm．点

E从点B出发，沿BC方向向点C匀速运动，速度为1 cm/s；点F从点C同时出发， 沿CD方向向点D匀速运动，速度为1 cm/s.设点E、F运动的时间是t（s）．

（1）当t为何值时，ΔEFC是直角三角形？

（2）设五边形ABEFD的面积为y（cm2），试求出y与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使五边形ABEFD的面积是梯形ABCD的面积的1720；

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由;

九年级数学试题第11页（共12页）

A

D F

B

E

C

九年级数学试题第12页（共12页）

密 封 装 订 线 数学试题参考答案及评分标准

说明：

1．如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准制定相应评分细则． 2．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．

3．为阅卷方便，本解答中的推算步骤写得较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤．

4．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B A A C D C A D 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

题 号 9 10 11 答 案 1.3?109 53 2000?1?25%?x?30180060?x 题 号 12 13 14 答 案 20 21n?3n?1?5 2 三、作图题（本题满分4分）

15．正确作图；

··································· 3分 正确写出结论． ··································· 4分

四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16．（本小题满分8分） （1）化简：?2x?8

······························· 3分

求值：9 ···························· 4分 （2）x1?3?1，x2??3?1 ····························· 4分

17．（本小题满分6分）

解：⑴ 200 ； ………………………… 2分

⑵正确补全频数分布直方图； ……………………………4分 （3）550人. ………………………………6分 18．（本小题满分6分） 解：（1）不公平．列表（如下） ………………2分

甲赢的概率为：

736 1 2 3 4 5 6 乙赢的概率为：61 2 3 4 5 6 7 36 ………………4分

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9 （2）掷一对骰子，如果两骰子正面点数和 4 5 6 7 8 9 10 为10、11、12，那么甲赢；如果两骰子 5 6 7 8 9 10 11 正面的点数和为7，那么乙赢.（正确即可）

6 7 8 9 10 11 12 ………………6分

19．（本小题满分6分）

解：设CD=xm,在Rt△ACD中，∠CAD=37°, tan∠CAD=

CDAC,∴AC=CDtan37?,∴AC=43x 在Rt△BCD中，∠CBD=64.5°, tan∠CBD=

CDBC,∴BC=CDtan64.5?,∴BC=12x…………3分 ∵AC－BC=AB=15m ∴

43x－12x=15 ∴x=18m． …………5分

答：该旗杆的高度约为18米． …………6分 20．（本小题满分8分）

解：（1）由题意得：

??13x?5?50?x??410?4x?14?50?x??520 ………………………2分 解得：18?x?20 ∵x是正整数 ∴x=18,19,20.

答：有三种方案，生产A种产品18件，B种产品32件；或生产A种

产品19件，B种产品31件；或生产A种产品20件，B种产品30件． ······································

（2）y?1.2x?2?50?x???0.8x?100 ·································································· 6分

4分

∵k=－0.8＜0,∴y随x增大而变小，

∴当x=20时，总成本最小，最小成本为84元. ·························································· 8分 21．（本小题满分8分)

证明：（1）四边形AEBC是平行四边形.

∵AE∥BC

∴∠AED=∠BCD, ∠EAD=∠CBD ∵AD=BD

∴△AED≌△BCD ∴ED=CD

∴四边形AEBC是平行四边形 ………………4分 （2）∠ABF=90°

在△ABF中，∠ABF=90°，BC是中线

∴BC=AC．

∴平行四边形AEBC是菱形. ………………6分 （3）AB=BF．

在△ABF中，

∵AB=BF , BC是中线 ∴BC⊥AF．

∴平行四边形AEBC是矩形． …………………8分

22．（本小题满分10分） （1）设这个函数关系为y= kx+b

∵这个一次函数的图象经过（30，400）、（31，380）这两点， ∴??400?30k?b?380?31k?b

解得 ?k??20??b?1000

∴函数关系式是：y=－20x+1000 ………………..3分 （2） W=（x－20）（－20x+1000） =－20（x－35）2+4500

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润4500元. ………………..6分

（3） 由题意，得：－20（x－35）2+4500 =4000 解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．

∵a=－20＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线

∴当30≤x≤34时，w≥4000． 设成本为P（元），由题意，得：

P?20??20x?1000???400x?20000

∵k??400?0，

∴P随x的增大而减小.

答：想要每月获得的利润不低于4000元，每月的成本最少为6400元． ···························· 10分 23．（本小题满分10分）

⑴ a1＋（n－1）d ……………………………3分

⑵根据题意可得方程： 8?(n?1)???3???100，

解得n=37 …………………………6分 ⑶

a1 ＋ a2 ＋… ＋ an-1 ＋ an

an ＋ an-1 ＋ … ＋ a2 ＋ a1 （ a1＋ an）＋（a1＋ an）＋… ＋（a1＋ an）＋（a1＋ an）

sn?a1?an?n(2?nan?1)n?1?2d. …………………………10

分

A

D 24．（本小题满分12分）

解：（1）过D作DH⊥BC，交BC于H，得矩形 ABHD和直角△DHC

在Rt△DHC中，HC=6，CD=10，所以DH=8

F

△EFC中，EC＝10－t，CF＝t，

若△EFC是直角三角形，则∠EFC＝90°或 ∠FEC＝90°． B

E H P

C

当∠EFC＝90°时，△EFC∽△DHC．

∴

10?tt10?6， t＝154(秒)．

当∠FEC＝90°时，△FEC∽△DHC．

10?tt6?10， t＝254 (秒)．

答：当t＝

154秒或t＝254秒时，△EFC是直角三角形． …………………3′

（2）过F作FP⊥BC，交BC于P.

DH44?，在Rt△FPC中，FP=FC×sin∠C=t DC55142∴S?FEC= ??10?t??t??t2?4t

2551梯形面积=??4?10??8?56

22∴S五边形ABEFD?t2?4t?56 ………………………………6分

5sin∠C=

（3）根据题意，S五边形ABEFD? ∴t?10t?21?0 解得t1?3,t2?7

答：当t=3秒或t=7秒时，五边形ABEFD的面积是梯形ABCD的面积的

22217t?4t?56=56? 52017； 20………………………………9分

（4）假设存在某一时刻t，使点F在线段DE的垂直平分线上，则FD=FE=10－t

在Rt△FPC中，FP=FC×sin∠C=

在Rt△FEP中，FE=10－t,FP=∴?10?t?2234t，PC=t

5584t,EP=10－t

5528??4????t???10?t?

5??5??60,t2?0?舍去? 1160答：当t=时，点F在线段DE的垂直平分线上.

11解得：t1?