2.1不等式的基本性质

第2章 不等式

2.1不等式的基本性质

【学习目标】

1．理解并掌握实数大小的基本性质，初步学会用作差法判别两个实数或代数式的大小； 2．掌握不等式的基本性质，运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题 一、引入： 1.生活与数学

2008年北京奥运会金牌榜，中国 51枚，美国36枚，英国19枚，比较这三国的金牌数量，得到由英国＜美国，美国＜中国?英国＜中国。 2.情景初探

假设数学，英语，语文三位老师的年龄分别为a,b,c，a＜b，b＜c?a＜c 3.情景再探

（1）10年之后三位老师谁的年龄大?20年之后呢？5年之前呢？

（2）大胆猜想：不等式两边都加（或减去）同一个数,不等号方向不改变。

（3）思考:不等式两边都乘(或除以)一个不为零的数,不等号方向改不改变和什么有关？ 二、讲解新课：

1.性质1如果a?b，且b?c，那么a?c．（不等式的传递性） 证明：

性质2如果a?b，那么a?c?b?c． 证明：

性质3如果a?b，c?0，那么ac?bc；如果a?b，c?0，那么ac?bc． 证明：

三、例题讲解

1.用符号“?”或“?”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． （1）设a?b，a?3b?3； （2）设a?b，6a6b； （3）设a?b，?4a?4b； （4）设a?b，5?2a5?2b．

解：（1）a?3?b?3，应用不等式性质2； （2）6a?6b，应用不等式性质3； （3）?4a??4b，应用不等式性质3；

（4）5?2a?5?2b，应用不等式性质2与性质3． 2.已知a?b?0，c?d?0，求证ac?bd．

证明：因为a?b,c?0，由不等式的性质3知，ac?bc，

同理由于c?d,b?0，故bc?bd． 因此，由不等式的性质1知ac?bd． 四、课堂练习： 1．填空：

（1）设3x?6，则 x?； （2）设1?5x??1，则 x?．

2.下列是由a＜b变形得到的式子,请用“＞”或“＜”连接. (1)a-1 b-1； (2)-a -b； (3)-a+1 -b+1； (4)2a-1 2b-1.

3.已知a?b，c?d，求证a?c?b?d． 4.已知 5.已知

,比较

与的大小.

，?4m＞4n?0＞4n-4m?0＞4（n-m）?0＞4，找出其中错误.

1) 运用不等式的基本性质比较大小； 2) 利用数轴比较大小； 3) 作差法比较大小.

5.已知 6.

7.解关于x的不等式：ax+16＜a+4x.

五、不等式性质小结 1.对称性： 2.传递性： 3.加法法则： 4.乘法法则： 5.倒数法则： 6.乘方法则： 7.开方法则： 六、课后练习

1.比较a+b与2a-8b-17的大小.

2.设a∈R，且a≠-1，试比较

2

2

2

,比较与的大小.

，求的取值范围.

1与1-a的大小. a?13.已知a＞b＞0，c＜d＜0，比较

4.若a,b,c,d均为正数，且m＜

ab与的大小. dcaca?c＜n. ＜n，m＜＜n，证明：m＜bdb?d5.已知（3a+2b）x＞4a+3b的解集为（-?，2），解不等式（a+b）x＞3a+b.

6.已知：1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求3x-2y的范围.

7.若a＞b＞0，c＜d＜0，证明3a3b＜. dc