两个平面垂直的判定和性质（一）

Xupeisen110 高中数学

两个平面垂直的判定和性质(一) 一、素质教育目标

(一)知识教学点

1．两个平面垂直的定义、画法． 2．两个平面垂直的判定定理． (二)能力训练点

1．应用演绎的数学方法理解并掌握两个平面垂直的定义．

2．掌握两个平面垂直的判定定理的证明过程，培养学生严格的逻辑推理，增强

学生分析、解决问题的能力．

3．利用转化的方法掌握和应用两个平面垂直的判定定理． (三)德育渗透点

1．理解并掌握两个平面垂直定义的过程是培养学生从一般到特殊的思维方法的过程．

2．让学生认识到掌握两个平面垂直的判定定理是人类生产实践的需要，并且应用于实践，进一步培养学生理论与实践相结合的观点． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：掌握两个平面垂直的判定． 2．教学难点：掌握两个平面垂直的判定及应用． 三、课时安排

本课题安排2课时．本节课为第一课时：主要讲解两个平面垂直的判定． 四、教与学的过程设计

(一)复习平面角的有关知识 师：什么是二面角的平面角？ 生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 师：一般地，作二面角的平面角有哪几种方法？

生：三种．一是利用定义；二是利用三垂线(逆)定理；三是利用棱的垂面． 师：下面我们来做道练习(幻灯显示)．

已知：二面角α-AB-β等于45°，CD＜α，D∈AB，∠CDB＝45°． 求：CD与平面β所成的角．

生证明：作CO⊥β交β于点O，连结DO，则∠CDO为DC与β所成的角．

过点O作OE⊥AB于E，连结CE，则CE⊥AB，∴∠CEO为二面角α-AB-β的平面

角，即∠CEO=45°．

∵CO⊥OE，OC＝OE，

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∴∠CDO=30°．

即DC与β成30°角．

师点评：本题涉及到直线与平面所成角的范围[0°，90°]以及利用三垂线定理寻找

二面角的平面角．事实上，利用三垂线定理作二面角的平面角是最常用，也是最有效的一种方法．

(二)两个平面垂直的定义、画法

师：两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，日常我们见到的墙面和地面、以及一个长方体中，相邻的两个面都是互相垂直的．那么，什么是两个平面互相垂直呢？

生：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

师：回答得很好．这个定义与平面几何里的两条直线互相垂直的定义相类似，也是用它们所成的角是直角来定义．知道了两个平面互相垂直的概念．如何画它们呢？

生：如图1-128，把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．记作α⊥β．

练习：(P.45中练习1) 画互相垂直的两个平面、两两垂直的三个平面． 如图1-129．

(三)两个平面垂直的判定

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师：判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理．

两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

求证：α⊥β．

师提示：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．

让学生独自写出证明过程． 证明：设a∩β=CD，则B∈CD．

∴AB⊥CD．

在平面β内过点B作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，又AB

⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．

∴α⊥β．

师：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直(图见课本P.43中图1-49)，实际上，就是依据这个原理．

另外，这个定理说明要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明．下面我们来做一道练习．

练习：(P.45中练习2)

如图1-131，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件

的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢？

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如果不转动，只能确定两条直线OA⊥OB，无法确定OA⊥β，从而无法确定α⊥β． (四)练习

例：⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意

一点．

求证：平面PAC⊥平面PBC． 证明：在θO内． ∵AB为θO的直径， ∴BC⊥AC． 又PA⊥BC， ∴BC⊥平面PAC．

∴平面PAC⊥平面PBC． (五)总结

本节课我们讲解了两个平面垂直的定义、画法及判定方法．判定方法有两种，一是利用定义，二是利用判定定理．如何应用两个平面垂直的判定定理，把面面垂直的问题转化为线面垂直的问题是本节课学习的关键．

五、作业

P．46中习题六．6、7、8、10(1)，

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