广东省中考数学试题分类解析汇编专题12 押轴题

广东2011年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题

解答题

5171.（广东省9分）如图，抛物线y??x2?x?1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，

44过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.

【答案】解：（1）∵A、B在抛物线y??x2?17x?1上， 45 ∴当x=0 时 , y?1，当x=3 时 , y?。

25即A、B两点坐标分别为（0，1），（3，）。

2 设直线AB的函数关系式为y=kx?b，

54?b?1?1??k?∴ 得方程组： ?，解得?2。 53k?b???2??b?1 ∴ 直线AB的解析式为y=x?1。 （2）依题意有P、M、N 的坐标分别为 P（t，0），M（t，t?1），N（t，?t2?12125417t?1） 4? s?MN?NP?MP

517515?1? =-t2?t?1??t?1??-t2?t?0?t?3?4444?2? （3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有

?t2?54155t? ，解得，t1=1，t2=2。 42325。 2 所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形。 当t=1时，MP?，NP?4，故MN?NP?MP? 又在Rt△MPC中，MC?MP2?PC2? 此时四边形BCMN为菱形。 当t=2时，MP?2 ，NP?5，故MN=MC， 295，故MN?NP?MP?。 22 又在Rt△MPC中，MC?MP2?PC2?5，故MN≠MC。 此时四边形BCMN不是菱形。

【考点】点的坐标与方程的关系，待定系数法，列二次函数关系式，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理。

【分析】（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式。 （2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式MN?NP?MP得到函数关系式。 （3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t。再讨论邻边是否相等。

2.（佛山11分）阅读材料：我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；

比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特

ABD殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；

我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和

判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识； 请解决以下问题：

如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；

C① 写出筝形的两个性质（定义除外）；

② 写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明；

AAA

B

DBDBDC备用图1 （写性质用）

C备用图1 （写判定方法用）

C备用图1 （证明判定方法用）

【答案】解：（1）性质1：一组对角相等，另一组对角不等。

性质2：两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条平分。 （2）判定 1：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形。

判定 2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形。 判定 1的证明：

已知：四边形ABCD中，对角线AC平分∠A和∠C，对角线BD不平分∠B和∠D 求证：四边形ABCD是筝形

证明：∵∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，AC=AC，∴?ABC≌?ADC（ASA）。 ∴AB=AD，CB=CD。 易知AC⊥BD，

又∵∠ABD≠∠CBD，∴∠BAC≠∠BCD。∴AB≠BC。 ∴四边形ABCD是筝形。

【考点】分类归纳，全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）还可有以下性质：

性质3：只有一条对角线平分对角。 性质4：两组对边都不平行。 （2）还可有以下判定：

判定3：四边形ABCD中，AC⊥BD，∠B=∠D，∠A≠∠C，则四边形ABCD是筝形。 判定4：四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，∠A≠∠C，则四边形ABCD是筝形。 判定5：四边形ABCD中，AC⊥BD，AB=AD，∠A≠∠C，则四边形ABCD是筝形。

3.（广州11分）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝2OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．

【答案】解：（1）证明：∵AB是直径， ∴∠BCA＝90°。 而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角， ∴∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°， ∴B、C、E三点共线。

（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图， ∵CB＝CA，CD＝CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE（SAS）。 ∴BD＝AE，∠EBD＝∠CAE。

∴∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°。 即BD⊥AE。

又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点， ∴ON＝

11BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM。 22 ∴ON=OM，ON⊥OM。即△ONM为等腰直角三角形。 ∴MN＝2OM。 （3）成立．理由如下：

和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，

同理可证BD1⊥AE1， △ON1M1为等腰直角三角形， 从而有M1N1＝

2OM1。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质。

【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA＋∠DCE＝90°