广东省揭阳市惠来县第一中学2018-2019学年高三上学期第一次阶段考试（月考）数学（理）试题

（2）证明：依题意可知直线l的斜率存在，设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），

……………………………

……5分

∴直线OP为y=x，直线ON为：y=

x，

由题意知A（x1，x1），B（x1，），

………………………6分

由，可得kx+（k﹣1）x+=0，………………………8分

22

∴x1+x2=，x1x2=………………………9分

∴y1+=kx1++=2kx1+=

2kx1+=2kx1+（1﹣k）?2x1=2x1，………………………11分

∴A为线段BM的中点．………………………12分

1a(x?1)?a(x?1)(x?1)2?2axx2?(2?2a)x?1??21.解：（1）f?(x)??， 22x(x?1)x(x?1)x(x?1)2

………………………………1

分

由题意知f?(2)?0，代入得a?

从而切线斜率k?f?(1)??9，经检验，符合题意．………………………2分 41，切点为（1,0）， ………………………3分 8∴切线方程为x?8y?1?0 ………………………4分

x2?(2?2a)x?1（2）f?(x)?，因为f（x）在(0,??)上为单调增函数， 2x(x?1)所以f?(x)?0在(0,??)上恒成立，即x2?(2?2a)x?1?0在(0,??)上恒成立．

………………………………5

分

当x?(0,??)时，由x2?(2?2a)x?1?0，得2a?2?x?1． x………………………………6

分

设g(x)?x?111,x?(0,??)，g(x)?x??2x??2． xxx1，即x=1时，g（x）有最小值2． x………………………………7

所以当且仅当x?分

所以2a?2?2，所以a?2． ………………………………8分

所以a的取值范围是(??,2]． ………………………………9分

mmm?1?12(?1)mm?nm?nnn?n?（3）要证，只需证，即证ln?，

mmlnm?lnn22nln?1nn………………………………10分

m?1)m2(x?1)n?0，设h(x)?lnx?只需证ln?．

mx?1n?1nm由（2）知h(x)在(1,??)上是单调增函数，又?1．

nm所以h()?h(1)?0，

n2(………………………………11分

m?1)mm?nm?nn?0成立，所以?即ln?

mlnm?lnn2n?1n2(………………………………12分

22.解：（1）由

消去参数α，得曲线C1的普通方程为

．

………………………

2分

由得?cos??2?sin??5?0，曲线C2的直角坐标方程为………………………4分 （2）设P（2

cosα，2sinα）， ………………………5分

．

则点P到曲线C2的距离为

．

………………………8分

当

时，d有最小值

， ………………………9分

所以|PQ|的最小值为23.解：

． ………………………10分

??2x?1?x??3??（1）f?x???5??3?x?2?， ………………………2分

?2x?1?x?2??当x??3时，?2x?1?x?5，∴x??2，无解； ………………………3分 当?3?x?2时，5?x?5，∴0?x?2； ………………………4分

当x?2时，2x?1?x?5，∴2?x?4 ………………………5分 综上可得，不等式f?x??x?5的解集为?x|0?x?4? ………………………6分 （2）f?x??x?2?x?3?x?2??x?3??5， ………………………8分 由a2?4a?5，得?5?a?1， ………………………9分 实数a的取值范围为??5,1? ………………………10分