小学奥数之几何五大模型

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五大模型

一、等积变换模型

⑴等底等高的两个三角形面积相等；

其它常见的面积相等的情况

⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

S1S2如上图S1:S2?a:b

⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S△ACD=S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；

⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

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二、鸟头定理（共角定理）模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E在AC上(如图2)，则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

图1 图2

三、蝴蝶定理模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③梯形S的对应份数为?a?b?。

2

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四、相似模型

相似三角形性质：

金字塔模型 沙漏模型

ADAEDEAF； ???ABACBCAG②S△ADE:S△ABC?AF2:AG2。

①

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

S△ABG:S△AGC?S△BGE:S△EGC?BE:EC S△BGA:S△BGC?S△AGF:S△FGC?AF:FC S△AGC:S△BCG?S△ADG:S△DGB?AD:DB

典型例题精讲

例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是

21平方厘米。问：长方形的面积是__________平方厘米。

例1图

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例2 如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF＝DC，

且AD＝2DE 。则两块地ACF和CFB的面积比是__________。

例2图

【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是3，

7，7，则阴影四边形的面积是多少？

举一反三图

【拓展】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三

角形ABC的面积是多少？

拓展图

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