通用版2017版高考物理大二轮复习与增分策略专题三力与物体的曲线运动第2讲万有引力与航天

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第2讲 万有引力与航天

1.在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需要的向心力由

Mmv22π222

万有引力提供.其基本关系式为G2＝m＝mωr＝m()r＝m(2πf)r.

rrT在天体表面，忽略自转的情况下有G2＝mg.

2.卫星的绕行速度v、角速度ω、周期T与轨道半径r的关系

MmRMmv2

(1)由G2＝m，得v＝

rr(2)由G2＝mωr，得ω＝

GM，则r越大，v越小. rGM，则r越大，ω越小. r3

4πr23

Mmr2

Mm4π2

(3)由G2＝m2r，得T＝

rT3.卫星变轨

GM，则r越大，T越大.

(1)由低轨变高轨，需增大速度，稳定在高轨道上时速度比在低轨道小. (2)由高轨变低轨，需减小速度，稳定在低轨道上时速度比在高轨道大. 4.宇宙速度 (1)第一宇宙速度：

2

mv1 GMm推导过程为：由mg＝＝2得：

RRv1＝

GM＝gR＝ km/s. R第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度. (2)第二宇宙速度：v2＝ km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度. (3)第三宇宙速度：v3＝ km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.

1.分析天体运动类问题的一条主线就是F万＝F向，抓住黄金代换公式GM＝gR. 2.确定天体表面重力加速度的方法有： (1)测重力法； (2)单摆法；

(3)平抛(或竖直上抛)物体法； (4)近地卫星环绕法. 1

2

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解题方略

1.利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmgR2MM3g由于G2＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.

RGV434πGRπR3

2.通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.

23

Mm4π24πr(1)由万有引力等于向心力，即G2＝m2r，得出中心天体质量M＝；

rTGT23

MM3πr(2)若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝；

V43GT2R3

πR3

(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则3π

天体密度ρ＝2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的

GT密度.

例1 设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看做质量分布均匀的球体，半径为R.宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1 ＝F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝.假设第三次在赤道平面内深

2度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫

2星中，示数为F4.已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是( ) ＝ F4＝ 4415F0＝ F4＝0

4答案 B

预测1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕，“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为1

4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为( )

20 答案 B

解析 研究行星绕某一恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式为：

F0

RF0F0

＝ F4＝0 4＝4F0 F4＝ 4

F0

F0

2

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23

GMm4π24πr＝m2r，M＝ r2TGT2

“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动1

201

半径的，所以该中心恒星与太阳的质量比约为

204

365

3

≈1.

2

预测2 到目前为止，火星是除了地球以外人类了解最多的行星，已经有超过30枚探测器到达过火星，并发回了大量数据.如果已知万有引力常量为G，根据下列测量数据，能够得出火星密度的是( )

A.发射一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T B.测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r

C.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的速度v D.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的角速度ω 答案 D

Mm2π2

解析 根据G2＝mr()可以得出火星的质量，但火星的半径未知，无法求出密度.故A

rT错误；测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期和轨道半径，根据万有引力提供向心力，可以求出太阳的质量，由于火星是环绕天体，不能求出其质量，所以无法求出密度.故B错误；

Mmv2v2r根据G2＝m，得M＝，密度ρ＝

rrG4

3

v2rGπr3v＝2，由于火星的半径未知，无法求出密度.4πGr3

2

Mmr3ω22

故C错误；根据G2＝mrω得，M＝，则密度ρ＝

rG4

故D正确.

r3ω2

Gπr3

3ω＝，可以求出火星的密度.4πG3

2

例2 2016年2月1日15点29分，我国在西昌卫星发射中心成功发射了第五颗新一代北斗导航卫星.该卫星质量为m，轨道离地面的高度约为地球半径R的3倍.已知地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响.则( ) A.卫星的绕行速率大于 km/s B.卫星的绕行周期约为8π 2R

g3

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C.卫星所在处的重力加速度大小约为

4D.卫星的动能大小约为答案 D

解析 km/s是第一宇宙速度，是卫星最大的环绕速度，所以该卫星的速度小于 km/s.故A错误；在地球表面质量为m0的物体，有GgmgR8

Mm022＝m0g，所以有GM＝gR. R用M表示地球的质量，m表示卫星的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律得

MmG4Rv2

·4R＝mg′＝m 2＝mT24R4π

2

解得卫星的绕行周期约为T＝16π

Rg，卫星所在处的重力加速度大小约为 g′＝ g16

12mgR卫星的动能大小约为Ek＝mv＝.故B、C错误，D正确.

28

预测3 (2016·全国乙卷·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的倍.假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) h h h h 答案 B

解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开

r3

普勒第三定律2＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫

T星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示.

卫星的轨道半径为r＝＝2R

sin 30°

33r1 r2 由2＝2得 T1 T2

R2R2＝224T2

33

. 解得T2≈4 h.

4