《高等数学II》第6章 常微分方程练习题

《高等数学II》第6章 常微分方程与差分方程练习题

第六章 常微分方程与差分方程

一、单项选择题

1．微分方程(y''')3?3(y'')2?(y')4?x5?0阶数是 （ B ） A.4阶 B．3阶 C．2阶 D．1阶 2．微分方程x2dy?x2?y2是 （ A ） dxA.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程 3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是 （ C ）

A.x(y')2?2yy'?x?0 B.xy?2yy'?x?0 C.xy'?x2y?0 D.(7x?6y)dx?(x?y)dy?0 4．方程xy'?y?x满足初始条件yx?1?1的特解是 （ ）

A.y?xlnx?x B.y?xlnx?Cx C.y?2xlnx?x D.y?2xlnx?Cx 5．微分方程xy??2y的通解为 （ ）

A．y?x2 B． y?x2?c C． y?cx2 D．y?0 6．微分方程xy??y满足y(1)?1的特解为 （ ）

A.y?x B. y?x?c C.y?cx D.y?0 7．微分方程xy'?xy?y是 （ ）

A可分离变量方程 B 齐次方程 C一阶齐次线性方程 D.一阶非齐次线性方程 8．微分方程y'?sin(xy)(y')2?y?5x?0是 （ ） A一阶微分方程 B二阶微分方程 C可分离变量的微分方程 D一阶线性微分方程 9．微分方程(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0为 （ ） A齐次方程 B一阶线性齐次方程 C一阶线性非齐次方程 D可分离变量的微分方程 10．下列方程中是可分离变量的微分方程的是（ ） A y'?(tanx)y?x?cosx BxeC y?x222x?yy'?ylny?0

dydy?xy Dxy'lnxsiny?cosy(1?xcosy)?0 dxdx11．微分方程y???2y??y?0的一个特解是 （ ） Ay?x2ex B y?ex C y?x3ex D y?e?x

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12．在下列微分方程中，通解为y?C1cosx?C2sinx的是 （ ）

Ay''?y'?0 By''?y'?0 Cy''?y?0 Dy''?y?0

13．微分方程y???2y??5y?0的通解y等于 （ ）

A.c1cos2x?c2sin2x B. ex(c1cos2x?c2sin2x) C.e?x(c1cos2x?c2sin2x) D.x(c1cos2x?c2sin2x) 14．微分方程：y''?y?0满足初始条件y|x?0?1,y'|x?0?2的特解为 （ ） Ay?cosx?sinx By?cosx?2sinx Cy?x2?2x?1 D y?C1cosx?C2sinx 15．设y1,y2是二阶常系数微分方程y???py??qy?0的两个解，则下列说法不正确的是( )

A．y1?y2是此方程的一个解 B.y1?y2是此方程的一个解 C．c1y1?c2y2是此方程的通解 (c1,c2为任意常数)

D．若y1,y2线性无关，则c1y1?c2y2是此方程的通解(c1,c2为任意常数)

16．用待定系数法求微分方程y''?y?2xex的一个特解时，应设特解的形式为 （ ）

A.y*?(Ax2?Bx)ex B.y*?(Ax?B)ex C.y*?Axex?B D. y*?Ax2ex

17．用待定系数法求微分方程y???6y??9y?e3x的一个特解时，应设特解的形式为（ ）

A.y*?Ax2e3x B.y*?x2e3x C.y*?Axe3x D.y*?Ae3x

18．二阶线性微分方程y''?4y'?3y?5对应的齐次方程的特征方程为 （ ） A．r?4r?3?5 B.r?4r?3?0 C.r?4r?3?5 D.r?4r?3r?0 19．已知y?2x2?7是微分方程y\?y?2x2?3的一个特解，则其通解为 （ ） A x?c1cosx?c2sinx?2x2?7 B x?c1ex?c2e?x?2x2?7 C x?c1?c2e\?x222?2x2?7 D x??c1?c2x?ex?2x2?7

'2x20．微分方程y?4y?4y?xe的特解形式为 （ ） A(Ax?B)e Bx(Ax?B)e2x2x22x Cx(Ax?B)e DAxe

32x21．下列函数中哪组是是线性无关的 （ ）

Ａ.lnx,lnx2Ｂ.lnx,xＣ.x,ln2xＤ.lnx,lnx2

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22．在下列微分方程中，特解为y1?cosx,y2?sinx的是 （ ）

A.y''?y'?0 B.y''?y'?0 C.y''?y?0 D.y''?y?0 二、填空题

1．微分方程?y'??y(4)y\?3y?0的阶数为______； 2．微分方程

3dy?y?0的通解是_______ ___； dx3．微分方程y??2xy?0的通解是______________； 4．微分方程y??ex?y?0的通解是_______ ___； 5．微分方程y''?sinx的通解是________________； 6．微分方程y''?4y'?4y?0的通解为_________； 7．微分方程y\?2y'?0的通解为_____________； 8．微分方程y'?y?2ex的通解为____________ 9．求微分方程y''?2y??y?xex的特解的形式为_________________________________；

d2y?4y?sin2x的一个特解，则方程的通解为__________________； 10．若f(x)是方程dx2三．求解下列常微分方程

1．ylnxdx?xlnydy?0 2．x

3．y??y?ex 4．y??ycosx?e

5．x(y2?1)dx?y(x2?1)dy?0 6．?1?y?dx?xdy?0

7．xy'?y?0 8．

?sinxdydy?y?xy dxdx,yx?0?0

dy2y? dxx?2y《高等数学II》第6章 常微分方程与差分方程练习题

9．y??y?e?x 10．2ydx?(y2?6x)dy?0

11．y???y??1 12．y???y??x 13．xy

15．y???y??x?1 16．y''?y'?2y?0

17．4y''?4y'?y?0 18．y\?6y'?9y?0，yx?0?0,y'x?0?1

19．y''?2y'?3y?2ex 20．y\?2y'?3y?3x?2

四．已知特征方程的两个根为：r1??2?i，r2??2?i，求相应的二阶常系数的齐次线性微分方程及其通解

dy?1?x2,y(1)?1 14．y???2y??0 dx