(word完整版)一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)(2)

一元二次不等式及其解法

1.一元一次不等式解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为 ；当a＜0时，解集为 . 2.一元二次不等式及其解法

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.

(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.

(3)一元二次不等式的解：

函数与不等式 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 3.分式不等式解法 f（x）

(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式.

g（x）(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：

有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) ① {x|x1＜x＜x2} 有两相等实根 bx1＝x2＝－ 2a② ? 无实根 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 R ③

f（x）f（x）

＞0 ? f(x)g(x)＞0； ＜0 ? f(x)g(x)＜0； g（x）g（x）

???f（x）g（x）≥0，?f（x）g（x）≤0，f（x）f（x）

≥0 ? ? ≤0 ? ? g（x）g（x）??g（x）≠0；g（x）≠0.??

(2014·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A.[－2，－1] C.[－1，1] －1].故选A.

B.[－1，2) D.[1，2)

解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，

1

设f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为( ) A.{x|x∈R} C.{x|x≥1}

B.{x|x≠1，x∈R} D.{x|x≤1}

解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b， 由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，

解出b＝－2，代入原函数，f(x)>0即x2－2x＋1>0，x的取值范围是x≠1.故选B. 11

已知－<<2，则x的取值范围是( )

2x11

A.－2

221

C.x<－或x>2

2

1

D.x<－2或x>

2

1

解：当x>0时，x>；当x<0时，x<－2.

21

所以x的取值范围是x<－2或x>，故选D.

21－2x

不等式＞0的解集是 .

x＋11－2x

解：不等式>0等价于(1－2x)(x＋1)＞0，

x＋111x－?(x＋1)＜0，所以－1＜x＜. 也就是??2?21??

故填?x|－1＜x＜2，x∈R?.

?

?

3

(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取

8

值范围为________.

33

解：显然k≠0.若k＞0，则只须(2x2＋x)max＜，解得k∈?；若k＜0，则只须＜(2x2

8k8k＋x)min，解得k∈(－3，0).故k的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).

类型一 一元一次不等式的解法

1

－∞，－?， 已知关于x的不等式(a＋b)x＋2a－3b＜0的解集为?3?求关于x的不?

等式(a－3b)x＋b－2a＞0的解集.

1

－∞，－?， 解：由(a＋b)x＜3b－2a的解集为?3??3b－2a1

得a＋b＞0，且＝－，

3a＋b

从而a＝2b，则a＋b＝3b＞0，即b＞0， 将a＝2b代入(a－3b)x＋b－2a＞0，

得－bx－3b＞0，x＜－3，故所求解集为(－∞，－3). 点拨：

2

一般地，一元一次不等式都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.挖掘隐含条件a＋b＞0且3b－2a1

＝－是解本题的关键.

3a＋b

解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2.

解：(1)当m2－4＝0即m＝－2或m＝2时， ①当m＝－2时，原不等式的解集为?，不符合 ②当m＝2时，原不等式的解集为R,符合 1(2)当m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜.

m－21

(3)当m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞.

m－2

类型二 一元二次不等式的解法

解下列不等式：

(1)x2－7x＋12＞0; (2)－x2－2x＋3≥0； (3)x2－2x＋1＜0; (4)x2－2x＋2＞0. 解：(1){x|x＜3或x＞4}. (2){x|－3≤x≤1}. (3)?.

(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R.

??－x＋1，x＜0，

2013·金华十校联考 ()已知函数f(x)＝? 则不等式x＋(x＋1)f(x

?x－1，x≥0，?

＋1)≤1的解集是( )

A.{x|－1≤x≤2－1} B.{x|x≤1}

C.{x|x≤2－1} D.{x|－2－1≤x≤2－1} 解：由题意得不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等价于①

??x＋1＜0，

? 或 ?x＋（x＋1）[－（x＋1）＋1]≤1?

??x＋1≥0，②? ?x＋（x＋1）[（x＋1）－1]≤1，?

解不等式组①得x＜－1；解不等式组②得－1≤x≤2－1. 故原不等式的解集是{x|x≤2－1}.故选C.

类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系

已知关于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求实数b，c的值. 解：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}， ∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的两个实数根，

??－5＋1＝b，??b＝－4，∴由韦达定理知?∴?

?－5×1＝c，??c＝－5.?

已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的

3

解集.

解：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，

∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得

b

－＝2＋3，a?b＝－5a，

??c?a＝2×3，??a＜0.

?

即?c＝6a，

??a＜0.

代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>0(a＜0). 即6x2＋5x＋1＜0，

11??

∴所求不等式的解集为?x|－2＜x＜－3?.

?

?

类型四 含有参数的一元二次不等式

解关于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0.

解：(1)m＝0时，不等式为－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集为{x|x＞1}； 1

x－?(x－1)＜0. (2)当m≠0时，不等式为m??m?1

x－?(x－1)＞0， ①当m＜0，不等式为??m?11??

∵＜1，∴不等式的解集为?x|x＜m或x＞1?. m??1

x－?(x－1)＜0. ②当m＞0，不等式为??m?1?1?

(Ⅰ)若＜1即m＞1时，不等式的解集为?x|m＜x＜1?；

m??1?1?

(Ⅱ)若＞1即0＜m＜1时，不等式的解集为?x|1＜x＜m?；

m??1

(Ⅲ)若＝1即m＝1时，不等式的解集为?.

m 点拨：

当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m≠0与m＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)1

的不确定性，对m＜0与m＞0进行讨论；第三层次：与1大小的不确定性，对m＜1、m

m＞1与m＝1进行讨论.

解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).

解：不等式整理为ax2＋(a－2)x－2≥0， 当a＝0时，解集为(－∞，－1].

2

当a≠0时，ax2＋(a－2)x－2＝0的两根为－1，，所以当a＞0时，

a

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