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量。证明下列两式成立F?p0A;a?y?C证明：1）证明F?p0A成立：
I
yCA?dF?pdA??ydA,?F??1F??Wy22hh?bh?bh?ydA??h?bh?Wydy
12??W??h?b??h2???2,?F1?b???Wb?b?2h???A??h?2?2???hCA?p0A2）证明a?y?IC成立：
?p0A
yCAA对Ox轴取矩为
Fa??ydFAA
??AyCa??y?ydA?ayCA??y2dy2IxI?yAI 2C,?Ix?ICx?yCA,?ICx?I,?a??a??yC?AyCAyCAyC2-11如题图2-11所示，已知a=1m，闸门宽度为1.5m，确定水对闸门的垂直分力以及水对闸门的垂直分力绕水平O轴的力矩大小。
解：1）求水对闸门的垂直分力
-2
?dF?pdA???1?y?dA?1.5??1?y?dx ?F?3 ??1?y??dx，（0?y?1）?2A?x?y3?dx?3ydy?F?2
312?1?y?3ydy??2?0
91????y2?y3??dy209?11????y3?y4?2?34?03F??103?9.81?3.68?103N812）求水对闸门的垂直分力绕水平O轴的力矩大小
?dM?xd?F??x?1.5??1?y?dx??M?1.5??x?1?y?dx01
?x?y3?dx?3ydy21
?M?1.5??y3?1?y?3y2dy01? ?1M?4.5?9.81?10?y6?y7?7?0?631?1.05?103Nm2-12如题图2-12所示，薄壁钢球直径D=3m，气体压强p=1.47MPa，钢的许用拉应力?=60MPa。确定钢球的壁厚?。
解：以上半边球为研究对象。
2-13如题图2-13所示。一密度为?1的圆球被置于密度为?2的液体中，球自由浸入液体的深度为h，试证明：1）h3?3Rh2?4?1R3?0?2；2）?h?0?0?h?2R?，并说明其物理意义（假设?2??2。 ??1）
R证明：1）建立坐标如图所示，则球浸入液体的体积为V??R?h?y2dx????R2?x2?dx??h2?R??
R?h3?R??h?
因球为自由平衡状态
4?43h???R?1??h2?R???2，化简得h3?3Rh2?1R3?0。
?233??4?12）由浮力原理可知，h?h??1，?2?
?h3?3Rh2?4?1?2R3?0,3h2?h?h4?13?4?13 ?h1?6Rh?2R?0,?=22??2R??2??2?2??23h?6Rh3h?h?2R??22R3所以，当0?h?2R时，?h?0
??2其物理意义是：当球的密度和半径为确定值时，其浸入液体的深度h随液体的密度?2的增大而减小。
2-14如题图2-14所示。一密度为???HO半径为R的圆球，其悬浮于水中，若将球从水中取出，问至少需做多少功？忽略粘性。
2解：如图建立坐标系，由浮力原理可知，球在水中悬浮时，球的上升过程中，力不做功。则
2222? dw??R?y??gdV??R?y??g????R?y?dy????g?R?y??R?y?dyw???g?R?y??R2?y2?dy??RR4??R4?g3
2-15如题图2-15所示。一相对密度为??1， 半径为R，长为L的圆柱体，平卧于深2R的水中。若将其从水中取出，问至少需做多少功？忽略粘性。
解：如图建立坐标系由浮力原理可知：
dw??R?y????1?g2xLdy??R?y??g2xLdy?2Lgx???2??1?R?y??dyR?x2?y2?R2，所以上式可改写为dw?2LgR2?y2???2??1?R?y??dy
?w??2LgR2?y2???2??1?R?y??dy?RRR?2Lg??R2?y2?2??1?Rdy??R2?y2ydy?
???R??R??2LRg?2??1????2??1?g?LR3R?RR2?y2dy2-16圆柱体长2m，半径R=0.2m，其与油、水的接触如题图2-15所示，油的相对密度为0.8。求（1）圆柱体右边与坝顶边上的相互作
用力；（2）圆柱体的重量与相对密度。 解：（1）求圆柱体右边与坝顶边上的力； 因水与油对圆柱体垂直方向的力平衡水平方向的力：
0.2R2F?0.8?2??9.81?103 F??Oilg?hC?L?R??Oilg?L ,
222?3.14?10N（2）求圆柱体的重量与相对密度,由浮力原理，有
211??mg???R2L?H2Og?2R2L?Oilg??R2L??R2L??Oilg24?? 1?1?mg?R2Lg?????H2O??Oil???Oil?4?2?1????0.22?2?9.81?103???0.8????2.354?103N
5??2mg0.240圆柱体的相对密度：????0.95465 22?RL?H2Og??0.2?22-16如题图2-16所示的密封容器内盛有油（相对密度0.8）和水两层液体，在油层中有一扇弧形闸门，其半径R=0.2m，宽B=0.4m，油水厚度均为h=0.2m，水银测压计中的液柱高也为h=0.2m，闸门的铰接点位于O点。为使闸门关闭，求所需的锁紧力F。 解：1）求油面顶部压强p0
p0?h?oilg?2h?H2Og?h?Hggp0?0.2?13.6?2?0.8??9.81?10?21.2?10Pa33
2）求油液对闸门的作用力,因闸门为1/4圆形，所以，闸门所受水平作用力与垂直作用力相等F?F??p??R?RL
xy?0??2?
0.2??Fx?Fy??21.2?103?0.8?9.81?103???0.4?0.2
2???1.76?103N设其作用点位于离圆心x处，则所需锁紧力
F?R?Fx?R?x??FyxF?Fx?1.76?10N3
答：求所需的锁紧力F?1.76?103N，方向与作用点如图所示。
2-17如题图2-17所示一离心分离器。已知容器半径R=15cm，高H=50cm，水深h=30cm。若容器绕中心轴匀速旋转，试确定水不溢出的极限转速。
fx?x?2解： 因流体跟随转筒一起旋转。所以，有
fy?y?2 fz??g因流体自由表面处于平衡状态，应满足等压面条件
fxdx?fydy?fzdz?0即，x?2dx?y?2dy?gdz?0
122??x?y2??gz?C积分，得2
1??2r2?gz?C222r?r?0z?0当时，，?C?0,z?2g，则最大超高?H??2R22g
V??z?2?rdr0R抛物线内体积（如图白色部分）为
??R?2r22g0?2?rdr??R??2g0?rdr?3??2R4
4g22112?R??R???R2?H22g2?H?h?H2即V等于如图所示?H部分圆柱体体积的1/2。所以
?H?2?H?h??2?50?30??40cm2g?H2?9.81?0.422?R????又因?H? R0.152g??18.6761s??2?n30?,n? ?178.34rmin60?第3章 流体动力学
1. 不可压缩液体连续性微分方程 只适用于恒定流。（ ? ）
2. 过流断面垂直于速度方向，因此，其就是垂直于速度方向的垂直平面。（ ? ）
3. 如果流体的密度即不随空间变化，也不随时间变化，即控制体体积不变，则该流体为不可压缩流体，。（ ? ） 4. 对于理想流体，同一流线上的流体质点，它们的能量相等。（ ? ）
5. 当质量力可以忽略不计，过流断面接近平面时，过流断面上的静压强按静止液体中的静压强的规律分布。（ ? ） 6. 自由射流的流束上的流体压强处处为大气压。（ ? ）
第4章 流体阻力和能量损失
4-1. 是非题(正确的划“√”，错误的划“)
1. 圆管层流的沿程水头损失系数仅与雷诺数有关。
2. 串联长管道各管段的水头损失可能相等，也可能不相等。 （ √ ） 3. 管层流的沿程水头损失系数仅与雷诺数有关。
第三章 流体动力学
4—7变直径管段AB，dA=0.2m,dB=0.4m，高差△h=1.5m，测得pA=30kPa，pB =40kPa，B点处断面平均流速vB=1.5m/s，试判断水在管中的流动方向。
dB2pA?A20.423062?A??B2?1.5?()?6m/s HA?zA???0???4.90md0.2?g2g9.82gA解：
22p?401.5HB?ZB?B?B?1.5???5.69m ?g2g9.819.6HB>HA, 水由B流向A; 水头损失5.69-4.90=0.79m
4—8用水银压差计测量水管中的点流速u ，如读值 △h=60mm ，求该点流速。 解：u?2g?12.6?h?19.6?12.6?0.06?3.85m/s
3
4—11为了测量石油管道的流量，安装文丘里流量计。管道直径 d1=200mm，流量计喉管直径d2=100mm，石油密度ρ=850kg/m，流量计流
量系数μ=0.95。现测得水银压差计读数hp=150mm，问此时管中流量Q多大？ 解：法一
p1?12p2?22p1p2?22?12Z1???Z2???h?(Z1?)?(Z2?)??hl??g2g?g2gl?g?g2g2g???油ppd12
(Z1?1)?(Z2?2)?(汞）hp?15hp v2?v（)?4v11?g?g?油d219.6?15?0.15? ?1??1.715m/s15Q???A?0.95?1.715?1法二、K??d22g14?(0.02)242?0.051m3/s
?d12??d2??1?0.036 Q??K?h?51.3 l/s ?2?4—13离心式通风机用集流器A从大气中吸入空气。直径d=200mm处，接一根细玻璃管，管的下端插入水槽中。已知管中水上升H=150mm，
3
求每秒钟吸入的空气量Q（空气的密度ρa=1.29kg/m）。
解：取集流器外断面1-1与玻璃管处断面2-2列伯努利方程：
p1?2?(?a??)g(z2?z1)?p2?2?pl 2??2330?0?0??0.15?10?9.8?2?0 ?=47.74m/s Q?1.5m/s4-18 闸下出流，平板闸门宽B=2m，闸前水深h1=4m,闸后水深h2=0.5,出流量Q=8m/s,不计摩擦阻力，试求水流对闸门的作用力，并与按静水压强分布规律计算的结果相比较。
解：根据流量Q?VA?V=Q?8?1m/s,由连续性方程得v21A12?43
2??12??2?v（1A14?2)?v（)?8m/s 1A20.5?2P1?P2?R'??Q(v2?v1)列动量方程
4P1??ghc1Bh1?9.8?2?2?4?156.8KNP2??ghc2Bh2?9.8?0.52?2?0.5?2.45KN 闸门所受推力R=-R’,大小为-98.35KN
R'?P1?P2??Q(v2?v1)?98.35KN按静水压力算得压力大小为 P?1?gh2B?1?1000?9.8??4?0.5?2?2?120.05KN
24-23已知平面无旋流动的流函数为??xy?2x?3y?10，试求速度势和速度场
解：由流函数可求得ux? ??2?????x?3 uy????y?2
?x?y?uxdx+f?y??12??x?3x+f?y? ?f??y???y?2 2?y4-25无穷远处有一速度为U0的均匀直线来流，坐标原点处有一强度为-q汇流，试求两个流动叠加后的流函数、 驻点位置及流体流入
和流过汇流的分界线方程。 解：复合流动的流函数为?点坐标：由 u?111f?y???y2?2y?c,??x2?3x+?y2?2y?c
222?u0rcos??q??q??lnr,速度场：ur??u0cos??lnr,u????u0rsin? 2??r2???q2?u0?=?
?0??=0或??0,rs?ur?0?rs?q当???代入得rs2?u0cos??0所以舍去,驻点坐标为??0,rs?q2?u0
代入流函数得??0，则过驻点的流线方程即分界线方程为：u0rsin??q??0 2?5-15 已知文丘里流量计喉管流速v与流量计压强差Δp、主管直径d1、喉管直径d2、以及流体的密度ρ和运动粘滞系数ν有关，试用π定理确定流速关系式。 解：
f(v,?p,d1,d2,?,?)?0
取v、d、ρ为基本量，n=6, m = 3, n- m = 3
?1??pd1?a1b1c1,??,???:[?p]?[v][d][?], 23bbb2va1d21?c1va2d22?c2va3d23?c31
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