概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结：八、圆锥曲线

――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点

F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．PF1?PF2?4B．PF C．PF D．PF11?PF2?101?PF2?62?PF22；（2）方程?12（答：C）

表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） (x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其

商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关

x2系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点Q(22,0)及抛物线y?上一动点P（x,y）,

4则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2x?acos?（1）椭圆：焦点在x轴上时2?2?1（a?b?0）?（参数方程，其中?为参数），

y?bsin?aby2x2焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。方程Ax2?By2?C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，

abx2y2且A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程??1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：

3?k2?k11(?3,?)?(?,2)）；（2）若x,y?R，且3x2?2y2?6，则x?y的最大值是____，x2?y2的最小值

22是___（答：5,2）

x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：2?2 =1，焦点在y轴上：2?2＝1（a?0,b?0）。方程

abab。如（1）双曲线的离心率等Ax2?By2?C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）

xx2y25于，且与椭圆?；（2）设中心在?1有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：?y2?1）

4942坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e?2的双曲线C过点P(4,?10)，则C的方程为_______

（答：x2?y2?6）

（3）抛物线：开口向右时y?2px(p?0)，开口向左时y??2px(p?0)，开口向上时

222?x2?2py(p?0)，开口向下时x2??2py(p?0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

x2y2（1）椭圆：由x,y分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程??1m?12?m3表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：(??,?1)?(1,)）

222（2）双曲线：由x,y项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

22（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、

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双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，

a最大，a2?b2?c2，在双曲线中，c最大，c2?a2?b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2（1）椭圆（以2?2?1（a?b?0）为例）：①范围：?a?x?a,?b?y?b；②焦点：两个

ab焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），四个顶点(?a,0),(0,?b)，其ca2中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，椭圆?0?e?1，eacx2y210越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆，则m的值是__（答：??1的离心率e?5m5253或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为

3__（答：22）

x2y2??1（a?0,b?0）为例）（2）双曲线（以：①范围：x??a或x?a,y?R；②焦点：两a2b2个焦点(?c,0)；③对称性：两条对称轴x?0,y?0，一个对称中心（0,0），两个顶点(?a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为

ca222x?y?k,k?0；④准线：两条准线x??； ⑤离心率：e?，双曲线?e?1，等轴双曲线acb?e?2，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y??x。如（1）双曲线的渐近

a131322线方程是3x?2y?0，则该双曲线的离心率等于______（答：或）；（2）双曲线ax?by?1的

231x2y2离心率为5，则a:b= （答：4或）；（3）设双曲线2?2?1（a>0,b>0）中，离心率

4ab??e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[,]）；

32p（3）抛物线（以y2?2px(p?0)为例）：①范围：x?0,y?R；②焦点：一个焦点(,0)，其中p2的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y?0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

pc2④准线：一条准线x??； ⑤离心率：e?，抛物线?e?1。如设a?0,a?R，则抛物线y?4ax2a的焦点坐标为________（答：(0,1； )）16a22x0y0x2y25、点P(x0,y0)和椭圆2?2?1（a?b?0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外?2?2?1；

abab2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上?2?2＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆内?2?2?1

abab6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：??0?直线与椭圆相交； ??0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有??0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故??0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；??0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有??0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故??0也仅是直线与抛物线相交

22

的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线y=kx+2与双曲线x-y=6的右支有两个不同的交点，则k

2

x2y215??1恒有公共点，则m的取值范围是_______（答：(-,-1)）；（2）直线y―kx―1=0与椭圆5m3x2y2??1的右焦点直线交双曲线于的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线12A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；

（2）相切：??0?直线与椭圆相切；??0?直线与双曲线相切；??0?直线与抛物线相切； （3）相离：??0?直线与椭圆相离；??0?直线与双曲线相离；??0?直线与抛物线相离。 特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与

x2y2抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线2?2＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共

ab点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与

双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（1）过点(2,4)作直线

x2y2与抛物线y?8x只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线??1有

916?y2?445??2且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：??,?；（3）过双曲线x??1的?）

332????右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB?4，则满足条件的直线l有____条（答：3）；（4）对于抛

2物线C：y?4x，我们称满足y0?4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y?2(x?x0)与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；（5）过抛物线y?4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则

22211??_______（答：pqx2y2??1的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于1）；（6）设双曲线

169P,Q,R，则?PFR和?QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求椭

圆7x2?4y2?28上的点到直线3x?2y?16?0的最短距离（答：813）；（8）直线y?ax?1与双曲线133x2?y2?1交于A、B两点。①当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？②当a为何值时，以AB

为直径的圆过坐标原点？（答：①?3,3；②a??1）；

7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相

??x2y2应准线的距离，即焦半径r?ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆??12516352）（；2）已知抛物线方程为y?8x，3若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M到

上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：x2y2焦点的距离是4，则点M的坐标为_____（答：7,(2,?4)）；（4）点P在椭圆??1上，它到左焦点

259252的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______（答：）；（5）抛物线y?2x上的两点A、

12x2y2B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆??1内有

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一点P(1,?1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MP?2MF 之值最小，则点M的坐标为_______（答：

(26； ,?1)）

38、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分别为r1,r2，焦点?F1PF2的面

x2y22b2积为S，则在椭圆2?2?1中， ①?＝arccos(?1)，且当r1?r2即P为短轴端点时，?最大为

abr1r2?b2?c22?max＝arccosS?btan?c|y0|，当|y0|?b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；；②

2a2?2b2?1?x2y22??S?rrsin??bcot对于双曲线2?2?1的焦点三角形有：①??arccos；②。如（1）1?12?rr?22ab12??2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则?ABF2的3周长为________（答：6）；（2）设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，

短轴长为5，离心率e?x2y2??1若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：x?y?4）；（3）椭圆9422→→

的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF2 ·PF1 <0时，点P的横坐标的取值范围是 （

答：

6，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与

52双曲线的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB＝__________（答：82）；（5）(?,5）；（4)）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝

已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且?F1PF2?60，S?PF1F2?123．求

?3535x2y2??1）该双曲线的标准方程（答：； 4129、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反

之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

10、弦长公式：若直线y?kx?b与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、B的横坐标，则

AB＝1?k2x1?x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝1?线方程设为x?ky?b，则AB＝1?k21y1?y2，若弦AB所在直2ky1?y2。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计

算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（1）过抛

物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）过抛物线y?2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；

2x2y211、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆2?2?1abb2x0x2y2中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；在双曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点

abay0b2x02的弦所在直线的斜率k=2；在抛物线y?2px(p?0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率

ay0

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