第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组精彩试题与解答

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贸大数学竞赛选拔题目（一大一小） 1. 函数u?ln(x?y2?z2)在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 .

提示:AB?(2,?2,1), 其单位向量为l?ABAB?221???,?,??333??(cos?,cos?,cos?)

1 2?u?x?Ad 1ln(x?1)?, ?u2dx?yx?1?Ad ln(1?1?y2)dyy?0?0,

?u?z?A??u?u?u?u?cos??cos??cos??1 ?l?x?y?z22. 求函数f(x,y)?sin(2x?y)在点(0,解: fx(x,y)?2cos(2x?y),fxx(x,y)??4sin(2x?y) ，

?4)的一阶泰勒公式

fy(x,y)?cos(2x?y)

fxy(x,y)??2sin(2x?y)， fyy(x,y)??sin(2x?y)

?2?2?f(0,)?，， fx(0,)?2， fy(0,)?

42424fxx(?,?)??4sin(2???)，

fxy(?,?)??2sin(2???)，fyy(?,?)??sin(2???)

所以f(x,y)?sin(2x?y)=

22?2(x?0)+ (y?)]+ +[ 222421??22[?4sin(2???)(x?0)+2(?2sin(2???)(x?0)(y?))?sin(2???)(y?)] 244=22??2x?(y?)?sin(2???)[2x2?2x(y??)?1(y??)2] 224424其中???x,??

?4??(y??4), (0???1)

3. 求函数f(x,y)?ln(1?x?y)在点(0,0)的三阶泰勒公式. 解: fx(x,y)?fy(x,y)??3f2!?p3?p?x?y(1?x?y)31?1 fxx(x,y)?fxy(x,y)?fyy(x,y)?

1?x?y(1?x?y)2?4f?3!?p4?p?x?y(1?x?y)4(p?0,1,2,3) (p?0,1,2,3,4)因此,

(h??x?k??y)f(0,0)?hfx(0,0)?kfy(0,0)?h?k

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(h??x?k??y)2f(0,0)?h2fxx(0,0)?2hkfxy(0,0)?k2fyy(0,0)??(h?k)2 (h??x?k??y)3f(0,0)??Chkp3pp?033?p?3f?xp?y3?p(0,0)?2(h?k)3

又f(0,0)?0,将h?x,k?y代入三阶泰勒公式得 ln(1?x?y)?x?y?1(x?y)2?1(x?y)3?R3

23?4其中R3?(h??x?k?y)f(?h,?k)h?xk?y1(x?y)4???4(1??x??y)4(0???1)

4? 在曲面z?xy上求一点? 使这点处的法线垂直于平面x?3y?z?9?0? 并写出这法线的方程? 解 已知平面的法线向量为n0?(1? 3? 1)?

设所求的点为(x0? y0? z0)? 则曲面在该点的法向量为n?(y0? x0? ?1)? 由题意知

y0x0?1??131? n//n0? 即

于是x0??3? y0??1? z0?x0y0?3? 即所求点为(?3? ?1? 3)? 法线方程为

x?3?y?1?z?331? 1

5? 设el?(cos? ? sin?)? 求函数f(x? y)?x2?xy?y2在点(1? 1)沿方向l的方向导数? 并分别确定角

?? 使这导数有(1)最大值? (2)最小值? (3)等于0?

解 由题意知l方向的单位向量为(cos?? cos?)?(cos? ? sin?)? 即方向余弦为 cos??cos? ? cos??sin? ? 因为

fx(1? 1)?(2x?y)|(1? 1)?1? fy(1? 1)?(?x?2y)|(1? 1)?1?

所以在点(1? 1)沿方向l的方向导数为 因此 (1)当 (2)当 (3)当

?f?l?fx(1, 1)cos??fy(1, 1)cos??cos??sin??2sin(???)4(1,1)?

???4时? 方向导数最大? 其最大值为2?

??5?4时? 方向导数最小? 其最小值为?2?

??3?7?4及4时? 方向导数为0?

x2?y2?z2?16? 求函数u?x2?y2?z2在椭球面a2b2c2上点M0(x0? y0? z0)处沿外法线方向的方向导数?

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x0y0z0x2?y2?z2?1n?(,2,2)2222abc? 其单位向量 解 椭球面abc上点M0(x0? y0? z0)处有外法向量为为

en?(cos?,cos?,cos?)?xy0z01(0,2,2)2222abcx?y?za4b4c4?

因为

ux(x0? y0? z0)?2x0? uy(x0? y0? z0)?2y0? uz(x0? y0? z0)?2z0? 所以? 所求方向导数为

?u?u(x,y,z)cos??uy(x0,y0,z0)cos??uz(x0,y0,z0)cos??n(x0,y0,z0)x000?

xy0z012(2x0?0?2y??2z?)?00a2b2c2x2?y2?z2x2?y2?z2a4b4c4a4b4c4?

x?y?z?17? 求平面345和柱面x2?y2?1的交线上与xOy平面距离最短的点?

解 设M(x? y? z)为平面和柱面的交线上的一点? 则M到xOy平面的距离为d(x? y? z)?|z|?

x?y?z?1问题在于求函数f(x? y? z)?|z|2?z2在约束条件345和x2?y2?1下的最不值? 作辅助函数?

xyzF(x,y,z)?z2??(???1)??(x2?y2?1)345 ?

??F???2?x?0??x3??F???y?4?2?y?0???F???2z??05??z?x?y?z?1?345?x2?y2?1? 令 ?? 解方程组得

x?4y?3z?3512? 5? 5?

(4, 3, 35) 因为可能的极值点只有5512这一个? 所以这个点就是所求之点?

x2?y2?z2?18? 在第一卦限作椭球面a2b2c2的切平面? 使该切平面与三坐标面所围成的四面体

的体积最小? 求这切平面的切点? 并求此最小体积?

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2y2z2xF(x,y,z)?2?2?2?1abc 解 令? 则

2y2zF?F?Fx?2xyz2b? c2? a2?

椭球面上点M(x? y? z)处的切平面方程为

x(X?x)?y(Y?y)?z(Z?z)?0xX?yY?zZ?1b2c2 a2? 即a2b2c2? 切平面在三个坐标轴上的截距分别为

2c2Y0?bX0?aZ?y? 0z? x?

切平面与三个坐标面所围的四面体的体积为

22221aV??bc6xyz?

2221ax2?y2?z2?1V??bc6xyz在条件a2b2c2下的最小值的问题? 或求函数 现将问题化为求函数

x2?y2?z2?1f(x? y? z)?xyz在a2b2c2下的最大值的问题?

2y2z2xF(x,y,z)?xyz??(2?2?2?1)abc 作辅助函数?

??F?yz?2?x?0??xa2??F2?y?xz?2?0???yb??Fz?0??xy?2?2??z2c?x2?y?z2?1?a2b2c2 令 ?? 解方程组得

x?ay?bz?c3? 3? 3?

y(a, , c)V?3abc2 于是? 所求切点为333? 此时最小体积为?

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