2019秋高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用练习（含解析）新人教A版必修4

1.6 三角函数模型的简单应用

A级 基础巩固

一、选择题

1．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )

A．60

B．70

C．80

D．90

2π11解析：因为T＝＝，所以f＝＝80.

160π80T答案：C

?π?2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin?x＋φ?＋k，

?6?

据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )

A．5

B．6

C．8

D．10

?π?解析：由题图知，当sin?x＋φ?＝－1时，函数取得最小值2，

?6?

即3×(－1)＋k＝2，所以k＝5. 因此，函数的最大值是3×1＋5＝8. 故水深的最大值为8. 答案：C

3．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．设秒针针尖的位置为P(x，y)，若初始位置为P0?

?31?

，?，当秒针针尖从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，?22?

那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )

A．y＝sin?

?πt＋π?

?6??30π??π

B．y＝sin?－t－?

6??60π??π

D．y＝sin?－t－?

3??30

π??π

C．y＝sin?－t＋?

6??30

π2π

解析：由题意，可得函数的初相是，排除B、D.函数的最小正周期是60，所以T＝

6|ω|ππ

＝60，所以|ω|＝，因为秒针按顺时针转动，所以ω＝－，故选C.

3030

答案：C

π

4．一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图

2象的最高点)，则正整数t的最小值是( )

A．5

B．6

C．7

D．8

π

解析：函数y＝－sin x的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.

2答案：C

5．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的π??函数关系式为s＝6sin?2πt＋?，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( ) 6??

A．2π s

B．π s

C．0.5 s

D．1 s

解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，

2π2π

所以T＝＝＝1 s，即单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.

|ω|2π答案：D 二、填空题

6．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(小时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1 经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．

解析：由表格知最大值为15，最小值为9，最小正周期为12，

??k＋A＝15，π故?解得A＝3，k＝12，ω＝.

6?k－A＝9，?

又t＝0时，y＝12，所以φ＝0. π

答案：y＝12＋3sin t

6

7．已知某种交变电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝52π??sin?100πt－?，t∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s内往复运动的次数是2??________________．

1

解析：周期T＝ s，所以频率为每秒50次，所以0.5秒内往复运动的次数为25.

50答案：25

8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋

??Acos?（x－6）?(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为

?

28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.

28＋1828－18解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，

22

π

?6

?π?所以y＝23＋5cos?（x－6）?， ?6??π?当x＝10时，y＝23＋5cos?×4?＝20.5.

?6?

答案：20.5 三、解答题

9．实验室某一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin?

?πt＋π?，t∈[0，24)．

3??12?

(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差． 解：(1)f(8)＝10－2sin?

?π×8＋π?＝10－2sin π＝10.

?3??12

故实验室这一天上午8时的温度为10℃. πππ7π

(2)因为0≤t<24，所以≤t＋<，

31233π??π

所以－1≤sin?t＋?≤1.

3??12

当t＝2时，sin?

?πt＋π?＝1；

?3??12

π??π

当t＝14时，sin?t＋?＝－1.

3??12

所以f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. π??10．确定方程sin?2x＋?＝lg x的实数解的个数． 3??

π??解：作函数y＝sin?2x＋?及y＝lg x的图象如图所示，由图可知，原方程的实数解的3??个数为7.

B级 能力提升

1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为点(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是点(6，0)，则f(x)的解析式为( )

π??π

A．f(x)＝3sin?x－?

4??8π??π

C．f(x)＝3sin?x＋?

4??8

π??π

B．f(x)＝3sin?x－?

4??4π??π

D．f(x)＝3sin?x＋?

4??4

1

解析：由题意知A＝3，T＝6－2＝4，所以T＝16，

42ππ?π?故T＝＝16，所以ω＝，所以f(x)＝3sin?x＋φ?， ω8?8?

?π

因为最高点为(2，3)，所以3sin?×2＋φ

?8?π?即sin?＋φ?＝1，又0＜φ＜π. ?4?

π?π?π

所以φ＝，所以f(x)＝3sin?x＋?.

4?4?8答案：C

?＝3，

??

2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋π??B?A＞0，ω＞0，|φ|＜?的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价

?2?

格最低，为4千元，则f(x)＝________．

??A＋B＝8，

解析：由题意得?解得A＝2，B＝6.

?－A＋B＝4，?