2020年4月高考理科数学大数据精选模拟卷01(含解析)

即二面角B?AE?D的余弦值为

27. 7

19．（本小题满分12分）

我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1),???,[4,4.5),分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（1）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由； （2）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为[1,1.5)和[1.5,2)之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设X为用水量吨数在[1,1.5)中的获奖的家庭数，Y为用水量吨数在[1.5,2)中的获奖家庭数，记随机变量

Z?|X?Y|，求Z的分布列和数学期望．

【答案】（1）30万；（2）

35. 36【解析】（1）由图，不低于3吨人数所占百分比为0.5??0.12?0.08?0.04??12% 所以假设全市的人数为x（万人），则有0.12x?3.6，解得x?30,

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所以估计全市人数为30万.

（2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，因为频率?

频率?组距， 组距所以0.5??0.08?0.16?0.4?0.52?0.12?0.08?0.04?2a??1，得a?0.3，

用水量在1,1.5之间的户数为100?0.3?0.5?15户，而用水量在1.5,2吨之间的户数为

????100?0.4?0.5?20户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在?1,1.5?之间应抽

取的户数为15?77?3户，而用水量在?1.5,2?吨之间的户数为20??4户． 3535据题意可知随机变量Z的取值为0,2,4．

2C32C418P?X?0??P?X?2,Y?2???， 3C7351331C3C4?C3C416P?X?2??P?X?1,Y?3??P?X?3,Y?1???， 3C73504C3C41P?Z?4??P?X?0,Y?4???， 3C735其分布列为：

Z P 期望为：E?Z??0?20．（本小题满分12分）

0 2 4 18 351816135?2??4??． 3535353616 351 35x2y2已知直线l与椭圆C:??1交于A,B两点.

3618（1）若线段AB的中点为?2,1?,求直线l的方程; （2）记直线l与x轴交于点M,是否存在点M,使得并求出该定值;若不存在,请说明理由.

【答案】（1）x?y?3?0 （2）存在，M(?23,0),定值为【解析】（1）设A(x,y),Bx,y,

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11?始终为定值?若存在,求点M的坐标,22MAMB1. 6?????x2y2?代入椭圆得??36?18?1?x?x???x?x?????y?y???y?y?????x??2?y?2，两式相减得:36180,

?36??18?1?y?y?1y?y?x?x???2?x?x?,Q线段AB的中点为?2,1?，?2?x?x?2,1?y?y?2, ?直线l的斜率为:?12?42??1，?直线l的方程为:y?1??(x?2),即:x?y?3?0.

（2）设M(x0,0),当直线l与轴重合时,

有12x2MA2?1MB2?110?72(x2?x2?22; 0?6)(0?6)(x0?36)12当直线与x轴垂直时MA2?1MB2??x2?418?0?36?x20,

?1?36??由42x20?7236?x2?236)2,解得x0??23.?存在点M,则M(?23,0),111MA2?MB2?6,0(x0?根据对称性,只考虑直线l过点M(23,0),

设A(x,y),B?x?,y??,设直线l的方程为x?my?23,

?由?x?my?23?,消掉x,可得:?x2y2?2?m2?y2?43my?24?0,?36?18?1 根据韦达定理可得:y?y???432?m2,yy???242?m2， Q1MA2?111(x?23)2?y2?m2y2?y2??1?m2?y2,

11同理

11?1?y2??y??2MB2??1?m2??y??2,?MA2?MB2?11?m2??y2?1?y??2???11?m2?y2?y??2

??Qy2??y??2??y?y??2?2yy??96m2?9622?2?m2?2,y?y???576?2?m2?2

?1MA2?1MB2?961576?6,

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111综上所述,存在点M(?23,0),使得MA2?MB2为定值6. ．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?axsinx?bcosx，且曲线y?f(x)与直线y??2相切于点????2,??2??， （1）求f(x)；

（2）若f(x)?mx2?1，求实数m的取值范围.

【答案】（1） f(x)?xsinx?cosx；（2） m…12. 【解析】（1）由题意可得：f?????2???a?2??2，解得a?1， f'(x)?xcosx?(1?b)sinx，由f??????2???1?b?0得b?1 ．所以f(x)?xsinx?cosx．（2）令g(x)?mx2?1?f(x)?mx2?xsinx?cosx?1 ， 由g(x)?0得g(2?)?4?2m?0，所以m?0． 显然g(x)为偶函数，所以只需x?0时，g(x)?0．

g'(x)?2mx?xcosx?x?2m?cosx?，

当m…12时，g'(x)?0，即g(x)在[0，???上单调递增，所以g(x)?g(0)?0， 从而m…1时，f(x)?mx22?1成立． 当0?m?12时，因为y?2m?cosx在?????0,2??上单调递增， 又x?0时，y?2m?1?0；x??2

时，y＝2m?0 ，

所以存在x0???0,???2??，使得2m?cosx0?0，

因此x?(0，x0)时，2m?cosx?0，g'(x)?0，即g(x)在(0，x0)上单调递减， 所以x?(0，x0)时，g(x)?g(0)=0，与g(x)?0矛盾， 因此0?m?12时不成立．

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