2020年4月高考理科数学大数据精选模拟卷01(含解析)

【解析】(1?2??)4=1?8??+24??2?32??3+16??4，所以??0=1,??1=?8,??3=?32，|??0|+|??1|+|??3|=41.

14．已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为__________．

【答案】25 【解析】S20?20?a1?a20?2?10?a1?a20??100 ,则a1?a20?10 .由等差数列的性质可知

a7?a14?a1?a20?10 .因为(a7?a14)2?a72?a142?2a7?a14?2a7?a14?2a7?a14?4a7?a14所以

(a7?a14)2102a7a14???25．当且仅当a7?a14?5时取得\?\.

4415．已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD?2，AB?4，面PAD?面ABCD，PA?PD，

且直线PB与CD所成角的余弦值为【答案】

25，则四棱锥P?ABCD的外接球表面积为__________． 564? 3【解析】由平面PAD?面ABCD，得AB?平面PAD，所以AB?PA，故角PBA即为直线PB与CD所成的角，故cos?PBA?BA25??PB?25,PA?2，又AD?2，PA?PD，故?PAD为等边三BP5角形.四棱锥P?ABCD的高PF?PAsin60o?3，设四棱锥P?ABCD的外接球的球心为O，半径为R.如图，过点O作OG?PF于点G，作OE?AC于点E，连接AO，则AE2?OE2=PG2?OG2，即(5)2?OE2=(3?OE)2?22?OE?163222，?R?AE?OE?，故外接球的表面积为：

334?R2?64?. 3

x2,?1?x?11116．已知函数f?x??{，函数f?x?在x?x0处的切线为l，若?x0?，则l与f?x?f?x?2?,1?x?365

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的图象的公共点个数为__________． 【答案】2或3. 【解析】由题意得，当

11?x0?时，直线l的方程为：y?2x0x?x02，其与?1?x?1时的图象只有65222一个交点，当1?x?3时，f(x)?(x?2)，则将直线l的方程y?2x0x?x0代入到f(x)?(x?2)中，得x?(4?2x0)x?4?x0?0?x?2?x0?2x0，由当

2211?x0?得，1?2?x0?2x0?3 ，651?x0?3?22时， 2?2?x0?2x0?3，在定义域内，此时在1?x?3时，直线l与f?x?有61两个交点，综合有三个交点；当3?22?x0?时， 2?x0?2x0?3，不在定义域内，此时在

51?x?3时，直线l与f?x?有一个交点，综合只有两个交点；结合上述两种情况，l与f?x?的图象的

公共点个数为2或3.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知A?（1）求sinC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求a的值. 【答案】（1）?4，a?c?2212b. 210；（2）15. 10【解析】（1）QA??4，?由余弦定理可得：

，

1222?a2?c2?b2?2bc，又 a?c?b，可得b?22c.

221?a2?c2??22c，可得a?5c.

2??a2?b2?c25c2?8c2?c2310. ?cosC???2ab102?5c?22cQA??0,??，?sinC?1?cos2C?10.

10（2）QS?ABC?11?bcsinA??22c?c?sin?3，解得c?3， 224?a?5c?15.

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18．（本小题满分12分）

如图所示，在五棱锥E?ABCDF中，侧面AEF?底面ABC，?AEF是边长为2的正三角形，四边形ABDF为正方形，BC?CD，且BC?CD，G是?AEF的重心，O是正方形ABDF的中心. （1）求证：OG∥平面BCE； （2）求二面角B?AE?D的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）27 7【解析】（1）取AF中点M，BD中点N，连接MN，CN， 易知C，N，O，M四点共线.

由BC?CD，且BC?CD，可知?BCD为等腰直角三角形，所以CN?因为O是正方形ABDF的中心，所以OM?ON. 所以CN?NO?MO，所以MO?所以

11BD?AB. 2211MC.又G是?AEF的重心，所以MG?ME. 33MOMG?，故OGPCE.又因为EC?平面BCE，OG?平面BCE. MCME所以OG∥平面BCE.

（2）解法一：因为M为中点，?AEF是正三角形，所以ME?AF. 因为侧面AEF?底面ABC，且交线为AF，所以ME?底面ABC. 所以直线ME，MA，MC两两垂直.

如图，以M为原点，以MA方向为x轴正方向，以MC方向为y轴正方向，以ME方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系.

uuuruuuuruuur

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uuuruuur则A(1,0,0)，B(1,2,0)，D(?1,2,0)，E(0,0,3) .所以AB?(0,2,0)，AE?(?1,0,3)，uuurAD?(?2,2,0).

ur设平面ABE的法向量为n1??x1,y1,z1?，

uuuvuv?urAB??n1?2y1?0,则?uuu令z1?1，则n1?(3,0,1). vuv??AE?n1??x1?3z1?0.uur设平面AED的法向量为n2??x2,y2,z2?，

uuuvuuv?uur?AD?n2??2x2?2y2?0则?uuu，令z2?1，则n2?(3,3,1). vuuv??AE?n2??x2?3z2?0uruururuurn1?n2427cosn,n???uruur. 所以127n1n22?7结合图可知，二面角B?AE?D的余弦值为

27. 7解法二：取AE，BE中点分别为P，Q，连接PD，PQ，则PQ∥AB.

又侧面AEF?底面ABC，AB?AF，侧面AEFI底面ABC?AF，所以AB?平面AEF. 又AE?平面AEF，所以AB?AE，所以PQ?AE.

又EF?FD?2，DF^EF，所以ED?AD?22，所以DP?AE. 所以?DPQ为二面角B?AE?D的平面角. 易知PQPDF，所以?DPQ??FDP.因为DP?所以cos?FDP?AD2?AP2?7，FD?2，

FD22727. ，所以cos?DPQ???DP777

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