二次函数中几何的最值问题

安阳市研习教育

-5m-6），四边形PACB的面积为S， 设P（m，

+5m+6，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5， 则PM=-∴S==（-=-=

++12m+36

+48，

-5m-6=、

-5×2-6=-12， ，

+

+5m+6）（m+1）+（6-+5m+6）（5-m）+×1×6

当m=2时，S有最大值为48，这时

∴P（2，-12），

（3）这样的Q点一共有5个，连接

y=因为∵

-5x-6=-；

（，y），

，

=

+

，

在对称轴上，所以设

是等腰三角形，且

+

由勾股定理得：y=-， ∴

（，-）.

试卷第9/16页

安阳市研习教育

5、答案： （1）y=（3）（4）

+6x（2）（0，1）． +

，（，）

）．

，（，

试题分析:

（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的方程组，求得a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；

（2）依据同角的余角相等证明∠BDC=∠DE0，然后再依据AAS证明△BDC≌△DEO，从而得到OD=AO=1，于是可求得点D的坐标；

（3）作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点

M．先求得抛物线的对称轴方程，从而得到点B′的坐标，由轴对称的性质可知当点D、M、B′在一条直线上时，△BMD的周长有最小值，依据两点间的距离公式求得BD和B′D的长度，从而得到三角形的周长最小值，然后依据待定系数法求得D、B′的解析式，然后将点M的横坐标代入可求得点M的纵坐标；

+6a），则OG=a，FG=（4）过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，+6a．然后依据

=

--的三角形的面积与a的函数关系

式，然后依据二次函数的性质求解即可.

解：（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：

，

解得：

，

+6x．

抛物线的解析式为y=（2）如图1所示；

∵BD⊥DE， ∴∠BDE=90°．

试卷第10/16页

安阳市研习教育

∴∠BDC+∠EDO=90°． 又∵∠ODE+∠DEO=90°， ∴∠BDC=∠DE0． 在△BDC和△DOE中，

，

∴△BDC≌△DEO． ∴OD=AO=1． ∴D（0，1）．

（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．

∵x=，

∴点B′的坐标为（2，4）． ∵点B与点B′关于x=对称，

∴MB=B′M．

∴DM+MB=DM+MB′．

∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）． ∵由两点间的距离公式可知：BD=

=

，

=

，DB′=

∴△BDM的最小值=+． 设直线B′D的解析式为y=kx+b． 将点D、B′的坐标代入得：解得：

．

，

试卷第11/16页

安阳市研习教育

∴直线DB′的解析式为y=x+1． 将x=代入得：y=∴M（，

）．

．

（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．

设点F（a，∵

+6a），则OG=a，FG==（OD+FG）·OG=（

=AG·FG=--．

=

+

+6a． +6a+1）×a=

-3a，

+

+a，

=

OD·OA=×1×1=，∴

=

+a-．

∴当a=时，

的最大值为

）．

∴点P的坐标为（，

6、答案： （1）y=-x+ （2）（，-）

试题分析：

（1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；

（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，m+），可得两点间的距离为d=?的坐标.

解：（1）∵抛物线y=

-3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，

∴令y=0，可得x=或x=， ∴A（，0），B（，0）； 令x=0，则y=，

试卷第12/16页

?3m+），E点的坐标为（m，?

+2m，利用二次函数的最值可得m，可得点D