§3.1.1数系的扩充和复数的概念2

人教A版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》

§3.1.2复数的几何意义

2.复平面及其相关概念：

因为复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z?a?bi(a,b?R)可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。

（1）实轴上的点都表示实数。 除了原点外虚轴上的点都表示纯虚数 （2）复平面内纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。 3.复数的几何意义：

（1）复数集C和复平面内所有点所成的集合是一一对应关系，即

复数z?a?bi?????复平面内的点Z(a,b) 这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. 例1．（2007年辽宁卷）若???复平面内所对应的点在（ ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

一一对应?35?π，π?，则复数(cos??sin?)?(sin??cos?)i在44??（2）引导学生回顾平面向量的几何表示和坐标表示得出复数的另一几何意义

????复数z?a?bi?????复平面内的点Z(a,b)?????平面向量OZ

一一对应一一对应复数集C和复平面内的向量所成的集合也是一一对应关系，即

?????平面向量OZ 复数z?a?bi????一一对应（注：规定相等的向量表示同一个复数）

1

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4.复数的模：

????向量OZ的模r叫做复数z?a?bi的模，记作|z|或|a?bi|，如果b?0，那么

z?a?bi是一个实数a，它的模等于|a|（就是a的绝对值），由模的定义可知

|z|?|a?bi|?r?a2?b2(r?0,r?R)

三、巩固练习：课本第105页1，2，3

四、课后作业：课本第106页 习题3. 1 A组4，5，6 B组1,2

复数与平面向量的性质类比

性质 模 大小比较 几何意义

平面向量 向量(a,b)的模为a2?b2 不能比大小，模可以比大小 与坐标平面内的点一一对应 复数 复数z?a?bi的模为a2?b2 不能比大小，模可以比大小 与复平面内的点一一对应 2

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四、巩固练习：

1．已知复数z1?2?i,z2?1?2i，则复数z?z2?z1在复平面 内所表示的点位于（ ） A.第一象限

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

2．在复平面上复数－3－2i,－4+5i,2+i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是（ ） A.5－9i B.－5－3i C.7－11i D.－7+11i

3．已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长为（ ） A.32

B.22

C.2

D.5

4．复平面上三点A、B、C分别对应复数1，2i,5+2i,则由A、B、C所构成的三角形是（ ） A.直角三角形

B.等腰三角形 C.锐角三角形

D.钝角三角形

5．一个实数与一个虚数的差（ ）

A.不可能是纯虚数 B.可能是实数

C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数 6．计算(－2?3i)?(3?2i)?[(3?2)?(3?2)i]=____. 7．计算：(2x+3yi)－(3x－2yi)+(y－2xi)－3xi=________(x、y∈R).

8．已知复数z1=a－3+(a+5)i,z2=a－1+(a+2a－1)i(a∈R)分别对应向量OZ1、OZ2（O2

2

为原点），若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数，求a的值.

五、课后作业：课本第112页 习题3.2 1 , 2 , 3

3

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§3.2.2复数代数形式的乘除运算

例1：计算(1?2i)(3?4i)(?2?i)

例2：计算：（1）(3?4i)(3?4i) ； （2）(1?i)2 2.共轭复数：

（1）共轭复数定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互

为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。 通常记复数z的共轭复数为z。

（2）共轭复数的性质：

思考：若z1,z2是共轭复数①在复平面内，它们所对应的点有怎样的关系？②z1?z2有

什么特征？

（①它们所对应的点关于实轴对称；②z1?z2是一个实数且有zz?|z|2） 2.复数除法运算法则：

（1）复数除法定义：满足(c?di)(x?yi)?a?bi的复数x?yi(x,y?R)叫复数a?bi除

以复数c?di的商，记为：(a?bi)?(c?di)或者（2）复数除法运算规则： (a?bi)?(c?di)?

a?bi c?diac?bdbc?ad?2i(c?di?0) 222c?dc?d思考：对于上述法则很难记忆，推导起来又很复杂，类比分母有理化的方法，我们能否

将

a?bi的分母变成实数，进而用复数乘法来解决呢？

c?dia?bi(a?bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i?? 22c?di(c?di)(c?di)c?d(ac?bd)?(bc?ad)iac?bdbc?ad?2?2i. 2222c?dc?dc?d(a?bi)?(c?di)??方法叫做分母实数化法 例3：计算(1?2i)?(3?4i) 例4：计算(1?4i)(1?i)?2?4i 3?4i 4