（完整word版）第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A卷（小学高年级组）-(1)

详解第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题A（小学高年级组）

一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）

1.

计算: －(2.4＋ ×4)÷ = 。

［答案］ 2

［解析］原式= -( + ) × = - × = - = 2

2.

中国北京在2015年7月31日获得了2022 年第24 届冬季奥林匹克运动会的主办权. 预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期 。（今天是2016年3月12日, 星期六）

［答案］五

［解析］2022-2016＝6（年），2020÷4=505，所以2020为闰年，有366天。 2016年3月12日至2022年3月12日共有：365×5+366=2191(天）； 2022年2月4日至2022年3月12日共有：28-4＋12=36(天）； 2016年3月12日至2022年2月4日共有：2191-36＝2155(天）； 2155÷7=307（周）……6（天）

6+6-7=5.所以2022年2月4日是星期五。

3.

右图中,AB=5厘米, ∠ABC=85,∠BCA=45,∠DBC=20,则AD= 厘米。

［答案］ 5

［解析］∠A＝180－∠ABC －∠ BCA＝180－85－45=50 ; ∠ABD= ∠ABC－∠ DBC＝85－20=65；

∠ADB＝180－ ∠A－∠ABD＝180－50 －65＝65； 所以 ∠ABD＝∠ADB ，即△ABD是等腰三角形。 所以AD＝AB＝5(厘米)

在9×9的格子纸上,1×1小方格的顶点叫做格点。如右图,三角形ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点P 使得三角形PAB与三角形PAC的面积相等, 就称P点为“好点”。那么在这张格子纸上共有 个“好点”。

［答案］ 6

［解析］如图，因为AB＝2AC，所以P点到AC的距离等于P点到AB距离的2倍，如图所示，共有6个点。

5. 对于任意一个三位数n, 用[n]表示删掉n中为0的数位得到的数。例如n =102时[n ]=12,那么满足[n ]

［解析］分两类情况来讨论：

个位为0的三位数有：100、110、120......990，共有90个均符合题目要求。

设十位数字为0的三位数为a0b，依题意，a0b是ab的倍数。则：100a+b是10a+b的倍数，且100a+b=10（10a+b）－9b， 因为10（10a+b）是10a+b的倍数，所以9b是10a+b的倍数。 当b=5时，a＝1或a＝4符合，即105或405符合。 当b＝8时，a＝1符合，即108符合。

所以，十位为0的三位数共有105、405、108这3个。 综上，符合题意的三位数共有90+3=93（个）。

6. 共有12 名同学玩一种扑克游戏, 每次4人参加, 且任意2 位同学同时参加的次数不超过1。 那么他们最多可以玩 次。 ［答案］9

［解析］将12名同学分别编号为1-12，将这12人分成4组，每组3个人，要想玩的次数最多，则每人需要与其他组的3个人各玩一次，则12个人共玩次数：12×3=36（次），每次4人玩，最多玩36÷4=9（次） 编号 1 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如果2×3能表示成k个连续正整数的和,则k的最大值为 。

［答案］108

［解析］设k个连续正整数的首项为n，则末项为n＋k－1 k个连续正整数的和：（n+n+k+1)k÷2=2×3； （2n+k+1)k=2×3

k最大可以取2×3＝108，此时n＝68符合。 所以k最大为108.

8. 两把小尺与一把大尺组成套尺,小尺可以沿着大尺滑动。大尺上每一个单位都标有自然数, 第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10, 第二把小尺将大尺上9个单位等分为10, 两把小尺的起点都为0, 都分别记为1 至10。现测量A,B 两点间距离, A 点

2

82

8

8

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 5 6 6 6 5 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 4 4

在大尺的0 单位处,B 点介于大尺的18与19单位之间；将第一把小尺的0单位处于B点时, 其单位3恰好与大尺上某一单位相合. 如果将第二把小尺的0单位处置于B点, 那么第二把小尺的第 个单位恰好与大尺上某一单位相合。

［答案］7

［解析］设第二把小尺的第x个单位恰好与大尺上某一单位相合 第一把小尺每个单位占大尺每个单位的： ； 第二把小尺每个单位占大尺每个单位的： ；

依题意， x- ×3的结果为整数，当x=7时， x- ×3=3，符合。 第二把小尺的第7个单位恰好与大尺上的某一单位相合。

二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）

9.复活赛上,甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额。投票人数固定,每票必须投给甲乙二人之一。最后,乙的得票数

为甲的得票数的,甲胜出。但是,若乙得票数至少增加4票,则可胜甲。请计算甲乙所得的票数。 ［答案］甲、乙得票分别为126，120或147，140. ［解析］设甲、乙得票数分别为a, b.根据题意：

b= ×a，b+4?a-4，b+3 ≤ a-3

如果a是奇数，则b是偶数，即使乙的得票数增加了若干票，甲减少了相应的票数，甲乙的得票数奇偶性不变。这时乙要胜甲，只要比甲多得一票即可，也就是比甲减少4票后所得票数多一票，即等于甲减去3票所得之差，故，此时甲、乙二人得票数的差是3+4=7（票），甲得票数是7÷（1-

）＝147（票），乙得票数是147-7=140（票）。

如果a是偶数，则b是偶数，即使乙的得票数增加4票，甲得的票数减少4票，二人的得票数仍然都是偶数。因此，这时乙要恰好胜甲，只需要比甲多得2票即可，而此时甲、乙得票数相差是2+4=6（票），甲得票数是6÷（1- 乙得票数是126-6=120（票）。

）＝126（票），

10.如右图, 三角形ABC 中, AB=180 厘米, AC=204厘米, D, F是AB上的点, E, G 是AC上的点,连结CD, DE, EF, FG, 将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形. 则AF＋AG为多少厘米?

［答案］172.5

［解析］在△ABC中，S△ADC=4S△DBC,所以AD=4BD=4×（180÷5）=144（厘米） 在△ADC中，S△ADE=3S△EDC,所以AE=3EC=3×(204÷4)=153（厘米） 在△ADE中，S△AFE=2S△EFD,所以AF=2DF=2×(144÷3)=96（厘米） 在△AFE中，S△AFG=S△GFE,所以AG=GE=153÷2=76.5（厘米） 因此，AF+AG=96+76.5=172.5（厘米）

11. 某水池有甲、乙两个进水阀. 只打开甲注水, 10小时可将空水池注满；只打开乙,15小时可将空水池注满。现要求7 个小时将空水池注满, 可以只打开甲注水若干小时, 接着只打开乙注水若干小时, 最后同时打开甲乙注水。那么同时打开甲乙的时间是多少小时? ［答案］5

［解析］设单独开甲进水阀x小时，单独开乙进水阀y小时，同时打开甲、乙进水阀z小时。 由题设，

x+y+z=7·······························(1) x+ y+（ + ） z =1···········(2) 由（2）×15得1.5x+y+2.5z=15··········(3) 由（3）-（1）得0.5x+1.5z=8 z=

此式有整数解：x＝1，z＝5；x＝4，z＝4;x＝7，z＝3;x＝10，z＝2;x＝13，z＝1.

但只有一组解x＝1，z＝5符合要求，此时y＝1，即甲进水阀开1小时，乙进水阀开1小时，甲、乙两进水阀同时开5小时，注满水。

12. 将一个五边形沿一条直线剪成两个多边形,再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分,得到了三个多边形,然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分,…, 如此下去。在得到的多边形中要有20 个五边形, 则最少剪多少次? ［答案］38

［解析］一个多边形被分成两部分，其内角和至多增加360，剪k次共增加的度数至多为(k × 360），所以这（k-1）个多边形

000

的度数和至多是k ×360 +540。另一方面，20个五边形的度数和为20×540，剩余的（k-19）个多边形的度数和最小是（k－19）

00000

×180，这样得到：（k－19）×180+20×540≤ k ×360 +540整理得K≥38.。 当k=38时，可以先将一个五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次将四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成20个五边形。

三、解答下列各题（每小题 15 分，共30 分，要求写出详细过程）

13. 如右图, 有一张由四个1×1的小方格组成的凸字形纸片和一张5×6的方格纸。现将凸字形纸片粘到方格纸上, 要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸的某个小方格重合,那么可以粘出多少种不同的图形? (两图形经旋转后相同看作相同图形)

0

0

［答案］31

［解析］把凸字形上面那个小方格称为它的头。粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸边框上为一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类。

对于第一类，凸字形的头不能黏在方格纸的四个角，边框上（不是角）的小方格共有2×3+2×4=14（个），即有14个图形。 对于第二类，方格纸内部的每一个小格都可以粘凸字形的头，有头朝上、头朝下、头朝左、头朝右之分。所以，这类图形有4×（3×4）=48（个）。 由加法原理知，共有14+48=62种图形。

由于方格纸的每个小格都与另外一个小方格旋转对称，所以，总的不同的图形为62÷2=31（个）。

14. 设n 是正整数。若从任意

值是多少? ［答案］9

n个非负整数中一定能找到四个不同的数 a, b,c,d 使得a＋b－c－d 能被 20 整除,则n的最小

［解析］存在8个数：0,1,2,4,7,12,20,40它们中的任何四个数都不满足条件，所以，n的最小值大于或等于9.

另一方面，对于任意9个非负整数，从中任取7个，它们的两两之和共有21个，这21个和数除以20的余数有21个。因为余数最多有20个不同的值，所以有下述两种情况之一发生：

（1）有4个不同的数a, b, c, d使得a+ b与c+ d 除以20有相同的余数。此时，这4个数满足题目要求。 （2）有3个不同的数a, c, x使得a+ x与c+ x除以20有相同的余数，则 a+ x-(c+ x)=a+ c

是20的倍数，将a, c从9个数中取出。对于剩下的7个数，同理可得，要么有4个不同的数满足题目；要么有2个数b, d使得b- d是20的倍数，如此一来，a, b, c, d使得a+b-c-d是20的倍数。