北京市朝阳区2019届高三3月综合练习(一模)数学理

所以当x?(0,x0)时,h?(x)?0,h(x)单调递增 当x?(x0,+?)时,h?(x)?0,h(x)单调递减 所以h(x)max?h(x0)?2因为lnx0=?ax0?2 2?2ax0?x0?1所以h(x0)?

x0lnx0?1?ax0?1 x0令h(x0)=0得x0?1?1?8a 4a1?1?8a1?1?8a?0,?1 因为1?a?2,所以

4a4a因为x0?(1,e2),所以h(x0)?0恒成立 即h(x)?0恒成立

综上所述,当1?a?2时,f(x)??1 方法二:

f(x)定义域(0,??) 为了证明f(x)??1,即

lnx?1?ax??1 x只需证明lnx?1?ax2??x,即lnx?ax2?x?1 令m(x)?lnx?x?1(x?0) 则m?(x)?1?1 x令m?(x)?0,得0?x?1 令m?(x)?0,得x?1

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所以m(x)在(0,1)上单调递增,在(1,??)上单调递减 所以m(x)max?m(1)?0 即lnx?x?1?0,则lnx?x?1 令n(x)?ax2?2x?2

因为1?a?2,所以?=4?8a?0 所以n(x)?0恒成立 即ax2?2x?2?0 所以ax2?x?1?x?1 综上所述,lnx?ax2?x?1 即当1?a?2时,f(x)??1 19.（本小题满分14分）

22x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为,且过点(1,).

22ab（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A,B两点,直线l2过坐标原点

且与直线l1的斜率互为相反数.若直线l2与椭圆交于E,F两点且均不与点A,B重合,设直线AE与x轴所成的锐角为?1,直线BF与x轴所成的锐角为?2,判断?1与?2的大小关系并加以证明.

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?c2??2?a?2?a??22b?1?()?1【解析】（Ⅰ）由题可得?,解得. 2???1?a2b2?c?1??222??a?b?cx2所以椭圆C的方程为?y2?1.

2（Ⅱ）结论:?1??2,理由如下: 由题知直线l1斜率存在,

设l1:y?k(x?1),A(x1,y1),B(x2,y2).

?y?k(x?1)联立?2, 2?x?2y?2消去y得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0, 由题易知??0恒成立,

4k22k2?2由韦达定理得x1?x2??, ,x1x2?221?2k1?2k因为l2与l1斜率相反且过原点, 设l2:y??kx,E(x3,y3),F(x4,y4),

?y??kx联立?2 2?x?2y?2·23·

消去y得(1?2k2)x2?2?0, 由题易知??0恒成立, 由韦达定理得x3?x4?0,x3x4?因为E,F两点不与A,B重合, 所以直线AE,BF存在斜率kAE,kBF, 则kAE?kBF?2, 21?2ky1?y3y2?y4?? x1?x3x2?x4?k(x1?1)?kx3k(x2?1)?kx3?

x1?x3x2?x3(x1?x3?1)(x2?x3)?(x2?x3?1)(x1?x3)?k?

(x1?x3)(x2?x3)22x1x2?2x3?x1?x2?k?

(x1?x3)(x2?x3)2(2k2?2)2?2?4k2??2221?2k1?2k1?2k?k?

(x1?x3)(x2?x3)?0

所以直线AE,BF的倾斜角互补, 所以?1??2.

20.（本小题满分13分）

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