北京市朝阳区2019届高三3月综合练习（一模）数学理

选考方案待确定的有6人 5 4 1 0 0 1 （Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少

人？

（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的8位

男生随机选出1人,从选考方案确定的10位女生中随机选出1人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率; （Ⅲ）从选考方案确定的8名男生随机选出2名,设随机变量

?1,2名男生选考方案相同,求?的分布列及数学期望E?. ????2,2名男生选考方案不同,【解析】（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x,

x?420?8?106?435??420???140（人）

8?6?10?68?1059所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人. （Ⅱ）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为

11C2?C33? 11C10?C840（Ⅲ）由题意知?的所有可能取值为1,2

22C4?C26?11P(??1)=??, 2C8284·17·

111111111111C4?C2?C4?C1?C4?C1?C2?C1?C2?C1?C1?C1P(??2)?C82?8?4?4?2?2?13?284

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所以?的分布列为

? P 1 2 1 43 4137?期望为E(?)?1??2??.

44418.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?lnx?1?ax. x（Ⅰ）当a?2时,（i）求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

（ii）求函数f(x)的单调区间;

（Ⅱ）若1?a?2,求证:f(x)??1. 【解析】（Ⅰ）当a?2时,f(x)?lnx?1?2x,定义域为(0,??) x2?lnx2?lnx?2x2 f?(x)??2=22xx（i）f(1)??1?2=?3

f?(1)?2?2=0

所以切点坐标为(1,?3),切线斜率为0 所以切线方程为y??3

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1（ii）令g(x)?2?lnx?2x2,g?(x)???4x?0

x所以g(x)在(0,??)上单调递减,且g(1)=0 所以当x?(0,1)时,g(x)?0即f?(x)?0 所以当x?(1,+?)时,g(x)?0即f?(x)?0

综上所述,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+?). (Ⅱ)方法一:

f(x)??1,即设h(x)?lnx?1?ax??1 xlnx?1?ax?1(x?0) x2?lnx?ax2?lnx?2 h?(x)??a?22xx设?(x)??ax2?lnx?2

1?2ax2?1??(x)??2ax???0

xx所以??(x)在(0,??)小于零恒成立 即h?(x)在(0,??)上单调递减 因为1?a?2

所以h?(1)?2?a?0,h?(e2)??a?0 所以在(1,e2)上必存在一个x0使得

2?ax0?lnx0?2?h(x0)?=0 2x02即lnx0=?ax0?2

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