2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标I卷)数学试题 (理科) word解析版

2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－5＜x＜5｝，则 ( )

A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B

【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-?,0)∪(2,+?), ∴A∪B=R,故选B.

2、若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为 ( )

44

A、－4 （B）－ （C）4 （D）

55

【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.

|4?3i|442?32(3?4i)34【解析】由题知z===?i，故z的虚部为，故选D.

3?4i5(3?4i)(3?4i)55

3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事

先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.

【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.

x2y254、已知双曲线C：2?2?1（a?0,b?0）的离心率为，则C的渐近线方程为

ab2111A. y??x B. y??x C. y??x D. y??x

432【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.

5c2a2?b2b1b21c5?【解析】由题知，?，即=2=，∴=，∴=，∴C的渐近线方224aa2aa4a21程为y??x，故选C.

2

5、运行如下程序框图，如果输入的t?[?1,3]，则输出s属于

- 1 -

A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5]

【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.

【解析】有题意知，当t?[?1,1)时，s?3t?[?3,3)，当t?[1,3]时，s?4t?t?[3,4]， ∴输出s属于[-3,4]，故选A.

6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个

球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )

500π3866π3A、cm B、cm

331372π32048π3C、cm D、cm

33

【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.

【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距

24??53500π3cm，故选A. 离为R-2，则R?(R?2)?4，解得R=5，∴球的体积为=33222

7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm?1＝－2，Sm＝0，Sm?1＝3，则m＝ ( )

A、3 B、4 C、5 D、6 【命题意图】本题主要考查等差数列的前n项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】有题意知Sm=

m(a1?am)=0，∴a1=－am=－（Sm-Sm?1）=－2， 2am?1= Sm?1-Sm=3，∴公差d=am?1-am=1，∴3=am?1=－2?m，∴m=5，故选C.

8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.16?8? B.8?8? C.16?16? D.8?16?

【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.

【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为

1??22?4?4?2?2 =16?8?，故选A. 2

2m9、设m为正整数，(x?y)展开式的二项式系数的最大值为a，

(x?y)2m?1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ ( )

A、5 B、6 C、7 D、8

【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题. 【解析】由题知a=C2m，b=C2m?1，∴13C2m=7C2m?1，即解得m=6，故选B.

x2y2

10、已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中

点坐标为(1，－1)，则E的方程为 ( )

x2y2x2y2x2y2x2y2A、45＋36＝1 B、36＋27＝1 C、27＋18＝1 D、18＋9＝1

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mm?1mm?113?(2m)!7?(2m?1)!=，

m!m!(m?1)!m!

【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.

【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2=2，y1?y2=－2，

22x12y12x2y2?2?1 ① 2?2?1 ② 2abab(x?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0， ①－②得122abb2(x1?x2)b20?11b21y1?y2222∴kAB==?2=2，又kAB==，∴2=，又9=c=a?b，解

a(y1?y2)a3?12a2x1?x2x2y2??1，故选D. 得b=9，a=18，∴椭圆方程为

18922

??x2?2x,x?011、已知函数f(x)=?，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是

ln(x?1),x?0?A.(??,0] B.(??,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。

?x2?2x,x?0?x?0?x?0【解析】∵|f(x)|=?，∴由|f(x)|≥ax得，且， ??2?ln(x?1),x?0?x?2x?ax?ln(x?1)?ax?x?0由?2可得a?x?2，则a≥-2，排除Ａ，Ｂ，

x?2x?ax?当a=1时，易证ln(x?1)?x对x?0恒成立，故a=1不适合，排除C，故选D.

12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…

cn＋anbn＋an

若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝2，cn＋1＝2，则( )

A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【命题意图】 【解析】B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____. 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.

c=b?[ta?(1?t)b]=ta?b?(1?t)b=【解析】bg

14、若数列{an}的前n项和为Sn＝

211t?1?t=1?t=0，解得t=2. 2221an?，则数列{an}的通项公式是an=______. 33【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n项与其前n项和的关系，是

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容易题.

21a1?，解得a1=1， 33212212当n≥2时，an=Sn?Sn?1=an?－(an?1?)=an?an?1，即an=?2an?1，

333333n?1∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴an=(?2).

【解析】当n=1时，a1=S1=

15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______

【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.

【解析】∵f(x)=sinx?2cosx=5(令cos?=525sinx?cosx) 55525，sin???，则f(x)=5(sinxcos??sin?cosx)=5sin(x??)， 55当x??=2k???2,k?z，即x=2k???2??,k?z时，f(x)取最大值，此时

?=2k???2??,k?z，∴cos?=cos(2k???2??)=sin?=?25. 5

2216、若函数f(x)=(1?x)(x?ax?b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.

【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题. 【解析】由f(x)图像关于直线x=－2对称，则 0=f(?1)?f(?3)=[1?(?3)][(?3)?3a?b]，

0=f(1)?f(?5)=[1?(?5)][(?5)?5a?b]，解得a=8，b=15， ∴f(x)=(1?x)(x?8x?15)，

∴f?(x)=?2x(x?8x?15)?(1?x)(2x?8)=?4(x?6x?7x?2)

=?4(x?2)(x?2?5)(x?2?5)

当x∈(－∞,?2?5)∪(－2, ?2?5)时，f?(x)＞0， 当x∈(?2?5,－2)∪(?2?5,+∞)时，f?(x)＜0，

∴f(x)在（－∞，?2?5）单调递增，在（?2?5，－2）单调递减，在（－2，?2?5）单调递增，在（?2?5，+∞）单调递减，故当x=?2?5和x=?2?5时取极大值，2232222222f(?2?5)=f(?2?5)=16.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°

1

(1)若PB=2，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA

【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.

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