理论力学习题解

k2h2?r?1??2Ak2h2??2cos(k??k?0)Ak2h2a

1?ecos(k??k?0)式中a?k2h2?2，e??2

将基准线转动一角度，可使?0?0得

r?a

1?ecosk?

2-2 如自半径为为a的球上，用一与球心相距为b的平面，切出一球形帽，求此球形帽的质心。

解：方法一

球形帽可看作由许多圆薄片沿Z轴叠成，其质心坐标xc?yc?0

zc??rb?rcos?(?r2sin2?)dz?rb?(?r2sin2?)dzcos??1??(cos??cos3?)d(cos?)?(1?cos2?)d(cos?)

?11(rcos2??cos4?)24cos??b/r1(cos??cos3?)3cos??b/rcos??13(r?b)2?42r?b方法二

取任一垂直于OZ轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱。

dm??dV??sdz???(r2?z2)dz zdm???(r?z)zdz?????dm???(r?z)dzbbrr22bbrr22zc11(r2z2?z4)24b1(rz?z3)3b2rr3(r?b)2? 42r?b

2-3 重为W的人，手里拿着一个重为w的物体。此人用与地平线成?角的速度向前跳去。当他达到最高点时，将物体以相对速度u水平向后抛出。问：由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？

解：选人与重物组成一个系统，此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守恒。人在抛出重物以前，水平速度为v0cos?，在最高点抛出重物之后，其水平速度变为v?，则

WwWwv??(v0cos??u)?(?)v0cos? gggg人抛出重物后，做以v?为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离

?x?v?v0sin?vsin? ?v0cos?0ggwuv0sin?

Wg两式联立得?x?讨论：

若抛出物体时速度是相对人后来的速度即v?，则上面第一个方程变为

WwWwv??(v??u)?(?)v0cos? gggg结果是?x?wuv0sin?

W?wg一个例子：人重60公斤，物重2公斤，起跳速度5m/s，抛物速度10m/s，则

?x?0.12m

2-13 长为l的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边沿垂直，此时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子的边沿时，链条的速度。

解：【方法一】

设链条的线密度为?，则t时刻下落的链条质量为m?(?y)?，此时链条所受的重力为mg?(?y)?g，根据牛顿第二定律有

l2l2?ldvl?(?y)?g dt2dydv代入上式 ,t?dty作变换v??vdv?(?y)gdy

两边积分

l2?v0?vdv??(?y)gdy，?v?l20l213gl 2【方法二】

设链条的线密度为?，当链条往下移?y，重力做的功为

?W???yg?dy??gy?y

0yW??lg?ydy?mg2l3l 8123l1mv?W?mg，?v?3gl 282

2—16 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。

解：变质量动力学方程

ddm(mv)?u?mg dtdt设水蒸气凝结在雨滴上之前在空气中的速度u?0，代入上式得

dvdm?v?mg dtdt设雨滴半径r的增长率为?，r?a??t，式中a为t?0时雨滴的半径，雨滴的质量

4?3m??r，式中为?密度

3dv3??v?g dta??tg3其解v?(a??t)?(a??t)4?c

4?mga4设t?0时，v?0的c??

4?ga4v?[a??t?] 34?(a??t)

5.1 半径为r的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端

4(c2?2r2)则在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为。

c解：如图示，主动力mg，由虚功原理得 mg?y?0 而y?(2rcos??)sin?

l2l?mg(2rcos2??cos?)???0

24rcos2?4(c2?2r2)?l??

cos?c

讨论：对直角坐标，由虚功原理有 ?W?Fx?x?Fy?y?mg?y?0 好像不能选y做广义坐标。

实际上，若选y做广义坐标，则广义力不是Fy，而是

Qy?Fxdx?Fy dydx?Fy?0而不是Fy?0 dy平衡条件是Qy?Fx本题中，平衡方程是奇点方程

dxdy??，即?0，解之得 dydx4(c2?2r2) l?c广义坐标的定义域A，

dx的定义域B，平衡位置在A内，但不再B内，即平衡方程是奇点dy方程

dx??。 dy

P359【例题5.3】轴为竖直而顶点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度?绕轴转动。一质量为m的小环，套在此金属丝上，并可沿着金属丝滑动。试用正则方程求小环在在x方向的运动微分方程并求解方程。已知抛物线的方程为x?4ay，式中a为一常数。 解：体系动能 T?2122m[(?x??y)??22x2 ]体系势能 V?mg yx2x??? 而y?， 所以 yx4a2a1x22?(1?2)??2x2]?T2?T0 所以T?m[x24ax2 V?mg

4a1x2x2222?(1?2)??x]?mg拉氏函数 L?T?V?m[x 24a4a1x2x2222?(1?2)??x]?mg哈密顿函数H?T2?T0?V?m[x 24a4a?Lx2?(1?2)， x??px??mx??x4apxx2m(1?2)4a

2px1m22x2 H?[]??x]?mg2x2m24a1?24a代入正则方程得

x2x2x??m2x??m?2x?mgm(1?2)?x?0 4a4a2a??0， 令??初始条件：t?0,x?x0,x???xx???x?0 x方程变为(1??x)?当??0时

221g2， ????4a22a(1??x2)(C1??x2)?20?C1???(1??x2)?Arth?2(t?C2) 2?(C1??x)???22(1??x0)(C1??x0)2?(1??x0)?C1???Arth 2?(C1??x0)???其中C1???x，2C2?当??0时

?(1??x2)(C1??x2)?20?C1????(1??x2)?Arth?2(t?C2) 2?(C1??x)????22(1??x0)(C1??x0)2??(1??x0)?C1???Arth 2?(C1??x0)????其中C1???x，2C2?

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