理论力学习题解

《理论力学》作业解答

1-3 已知曲柄OA?r, 以匀角速度?绕定点O转动,此曲柄借连杆AB使滑动B沿直线Ox运动.设AC?CB?a,?AOB??,?ABO??.求连杆上C点的轨道方程及速度. 解: 设C点的坐标为x,y,则

?x?rcos??acos???y?rsin??asin? ?y?asin??联立上面三式消去?,?得

(x?a1?y2/a2)2?4y2?r2

整理得轨道方程

4x2(a2?y2)?(x2?3y2?a2?r2)2

设C点的速度为v,即

?2sin2??2ar????sin?sin??a2??2 ?2?y?2?r2?v?x?cos??2a??cos? ?A?r?考虑A点的速度y??得?rcos?rcos?????

2acos?2acos?r?2cos?cos2??4sin?cos?sin(???)

所以v?

1-4 细杆OL绕O点以匀角速度?转动,并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动,图中的d为一已知常数.试求小环的速度v及加速度a 解: 小环C的位置由x坐标确定 x?dtan?

22d?x?sec?????d?v?x d2d2?x2??2d?sec?tan??2?xa??x

d222

解法二:

设v为小环相对于AB的速度, v1为小环相对于OL的速度, v2为小环相绕O点转动的速度,则v?v1?v2

??????又设OL从竖直位置转过了?角,则

sin??xx?d22, cos??dx?d22 v2?x2?d2?(x2?d2)?v???

cos?cos?dv1?v2tan???tan?x2?d2?x2x?d2? d??(x2?d2)所以, 小环相对于AB的速度为v?,方向沿AB向右.

d

1-10 一质点沿着抛物线y?2px运动.其切向加速度的量值为法向加速度量值的?2k倍.如此质点从正焦玄(

解: 设条件为

2p,p)的一端以速度u出发,试求其达到正焦玄另一端时的速率. 2a???kan, an?上面三式联立得

v2?, a??dvdvd?dsvdv ??dtd?dsdt?d?dv??2kd? vvdv?0??两边积分 ???(?2k)d?, ?v?ue?2k?

ud??0由y?2px可得

2dyp? dxy在正焦玄两端点A(率互为倒数,即??pp?,p)和B(,?p)处, y?A?1,yB??1.可看出,两点处抛物线得切线斜

22,代入得

?2v?ue?k?

1-15 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后2m的甲板,蓬高4m.但当轮船停航时,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m,如果雨点的速率为8m/s,求轮船的速率. 解: 设相对于岸的速度为v0,雨相对于岸的速度为v,雨相对于船的速度为vr则

??????vr?v?v0

速度三角形与三角形ABC相似,得

v0BC2?3???1

22vAB4?3所以v0?v?8m/s

方程y?3py?2ph?0的解

322p6p232解: 作变换y?z?,原方程变为z?3?2ph?0

zz 设R?p?ph,A?(ph?实根 y1?A?B?(ph?226422R)1/3,B??13pi则 ?(p2h?R)1/3,????223AR)1/3?(p2h?R)1/3

2两个虚根: y2??A??B,y3??A??B 对于该题,只取实根.

1-38 已知作用在质点上的力为Fx?a11x?a12y?a13z,Fy?a21x?a22y?a23z,

Fz?a31x?a32y?a33z其中ai,j(i,j?1,2,3)都是常数,问这些ai,j应满足什么条件才有势能

存在?如果这些条件满足,试求其势能.

?解: 由??F?0得: ai,j?aj,i(i,j?1,2,3)

dV??Fxdx?Fydy?Fzdz??(a11x?a12y?a13z)dx?(a21x?a22y?a23z)dy?(a31x?a32y?a33z)dzV???a11xdx??(a21x?a22y)dy??(a31x?a32y?a33z)dz000xyz1??(a11x2?a22y2?a33z2?2a12xy?2a23yz?2a31zx)?c2

1-39 一质点受一与距离3/2次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远到达a时的速度v1和自a静止出发到达a/4时的速率v2相同. 解: 依题意有 m

dvdv1?mv??3/2,两边积分 dtdxx1221, ?mv?dx1?x3/22aa?v10mvdv???再积分

?v20mvdv???a4a1122, dx?mv?1x3/22a可知v1?v2

1-43 如果质点受有心力作用而作双纽线r?acos2?的运动时，则

223ma4h2 F??r7试证明之。

d2uF解：比耐公式hu(2?u)??

d?m22 而u?211代入得 ?2racos2?d2u45 ??3au?u 2d?3ma4h2 ?F??r7

1-44 质点所受的有心力如果为

F??m(?2r2??r3)

2式中，?及?都是常数，并且??h，则其轨道方程可写成r?a。试证

1?ecosk?k2h2Ak2h2h2??明之。式中k?，a?，e?（A为积分常数）。

?2?2h22d2uF解：比耐公式hu(2?u)??将F代入得

d?m22d2u?2h2??22?ku?2，式中k? 22d?hh其解为u?Acos(k??k?0)??2k2h2