最新人教版高一数学必修1第一章《函数的概念》教材梳理

疱丁巧解牛

知识·巧学·升华 一、函数 1.函数的定义

函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.

函数的近代定义：一般地，设A、B都是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，函数值的集合｛f（x）|x∈A｝叫做函数的值域. 不难发现{f（x）|x∈A}?B.

要点提示 注意此处空半格函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：

①定义域和对应法则是否给出；

②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应.

2.函数的三要素 （1）定义域

定义域是自变量x的取值范围，有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许值范围， 例如：函数y=

x?3，由于没有指出它的定义域，则我们认为它的定义域是x≥-3且xx≠0的实数.又如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x＞0而不是全体实数.

要点提示 注意此处空半格求函数的定义域，应考虑分式的分母不为零，根式有意义等，遇到实际问题还必须考虑自变量x所代表的具体量有实际意义. （2）对应法则

对应法则f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连结x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域｛y|y=f（x）且x∈A｝中唯一y与之对应.一般地，函数f（x）中，“f”可以用具体的文字来描述，如f（x）=x2，f表示为“求平方”；f（x）=2x+1，f表示为“乘2加1”.但有时，由于函数f（x）没有解析式，如教材实例（2）（3），我们就无法用文字写出它的对应法则，同一“f”，可以“操作”于不同形式的变量，如f（x）是对x进行操作，而f（x2）是对x2进行“操作”，f（3）是对3进行“操作”.由此可知，对应法则f可以用具体的文字来表述，也可以用图象或列表来表达. （3）值域

函数的值域是函数值的集合，应熟练掌握常见一次函数、二次函数及反比例函数的值域.

kk(k≠0)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，对应法则为f（x）=，值域为xxk{y|y∈R且y≠0}.因此反比例函数y=（k≠0）可理解成对{x|x∈R且x≠0}中的任意一个

x 反比例函数y=

自变量x，在{y| y∈R且y≠0}中都有唯一的实数y=

k(k≠0)和它对应. x 记忆要诀 注意此处空半格函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何集不限. 二、区间

区间是数学中常用的术语和符号，它是集合的一种表示形式.记住闭区间、开区间、半开半闭区间的符号表示及其含义.若数a、数b分别为闭区间和开区间的端点，那么在数轴上，a

用实心点表示，b用空心点表示.

区间的含义、名称、符号及几何表示如下表： 定 义 ｛x|a≤x≤b｝ ｛x|a＜x＜b｝ ｛x|a≤x＜b} ｛x|a＜x≤b} ｛x|x≥a｝ ｛x|x＞a｝ ｛x|x≤a｝ ｛x|x＜a} R 名 称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符 号 ［a，b］ （a，b） ［a，b］ （a，b） ［a，+∞］ （a，+∞） （-∞，a） （-∞，a） （-∞，+∞） 数轴表示 取遍数轴上所有值 区间表示数集或数的范围时，要注意开区间、闭区间、半开半闭区间端点的表示形式，要形成用区间表示函数的定义域和值域的习惯. 问题·思路·探究

问题1 高中阶段学习的函数的概念和初中学习的函数的概念有什么不同和相同? 思路：找出两个概念中的关键词，分析其中的联系和区别.

探究:初中阶段函数的概念:设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x 的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.

高中阶段函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中, x叫自变量, x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

两种函数概念的相同点是:（1）两种表示的定义域和值域完全相同.（2）对应关系本质上也是一样的.（3）都是描述变量之间的依赖关系.

两种函数概念的不同点是（:1）用集合的观点说明变量（.2）用对应关系表示变化过程.(3)表示法的不同:初中里的表示法比较单一，但直观、生动.高中函数的概念更具一般性.比如按初中的定义就很难断下面的表达式是不是函数:

现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的. 问题2 f（a）与f（x）有何区别？

思路：通过比较，加深对函数概念的理解，y=f（x）表示y是x的函数，它是一变量，而f（a）是当x=a时的函数值，它是函数值域中的一个值. 探究：“y=f（x）”是“y是x的函数”的数学表达式，它仅仅是函数的符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f（x）也不一定是解析式，一个具体函数的表达式是什么，那就需要根据具体情况而定.例如：y=f（x）=x+1，也可以y=f（x）=

3，还可以y=f（x）=x2-2x+3，?.x而f（a）与f（x）既有区别又有联系，f（a）表示当自变量x=a时，函数f（x）的值，是一个常量.而f（x）是一个函数式，一般情况下，它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值.

典题·热题·新题

例1 下列对应是否为A到B的函数：

①A=R，B=R，f:x→y=±x ②A=Z,B=Q,f:x→y=x2 ③A=Z,B=Z,f:x→y=A=[-2,2],B=(-1,1),f:x→y=

x ④

x. 2思路解析：可根据函数的定义判断一个对应是否为函数.

解：①A中的任一元素(除0外)在B中都有两个元素与之对应，故该对应不是A到B的函数；

②对于集合A中的任意一个整数x按照对应关系f:x→y=x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2和它对应，故②是集合A到集合B的函数. ③A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，因此该对应不是A到B的函数； ④对于集合A的元素-2和2，按照对应关系f:x→y=

x，对应的函数值应该是-1和1，而在2B中没有这两个元素，所以④不是A到B的函数.

深化升华 注意此处空半格判断一个对应关系是否是函数要从以下几个方面去判断： (1)A、B必须是非空数集；

(2)A中任一元素在B中必须有元素和它对应；

(3)A中任一元素在B中必须有唯一的元素与之对应.

也就是说，对于两个非空数集，只有一对一或多对一的对应符合函数的定义，一对多的对应不符合函数的定义.

例2 (2006安徽高考)函数f(x)对于任意实数 x满足条件 f(x+2)=f(f(5))=______________. 解：由f(x+2)=

1，若f(1)=-5,则f(x)11得f(x+4)= =f(x),所以f(5)=f(1)=-5，则f(f(5))=f（-5）=f(-1)= f(x)f(x?2)

11=-.

f(?1?2)5例3 求下列函数的定义域：

1；（2）f（x）=3x?2； x?21（3）f（x）=x?1+；

2?x（1）f（x）=

(4)f（x）=ax?3(a为不等于0常数).

思路解析：给定函数时，要指明函数的定义域.对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合. 解：（1）要使函数有意义，当且仅当x-2≠0，即x≠2， ∴函数的定义域为｛x|x∈R且x≠2｝.

（2）要使函数有意义，当且仅当3x+2≥0，即x≥-∴函数的定义域为｛x|x≥-

2， 32｝. 3?x?1?0,（3）要使函数有意义，当且仅当x+1≥0且2-x≠0，即?

2?x?0,? 得x≥-1且x≠2.∴函数的定义域为｛x|x≥-1且x≠2｝.

(4)要使函数有意义，必须使ax-3≥0,得 当a＞0，原函数的定义域为 {x|x≥

33}；当a＜0，原函数的定义域为{x|x≤} aa 深化升华 注意此处空半格已知函数的解析式，求函数的定义域是求使函数的解析式有

意义的自变量的取值范围.常见的有以下几种情况： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域为实数集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合； (4)若f（x）是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每部分有意义的实数的集合的交集）.

(5)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，应对参数进行讨论，像例1的第4小题含有参数a,须对它分类讨论.另外根据函数的定义，可知函数的定义域不可能是空集，因此即使例1的第4小题没指明a≠0,也不需考虑a=0的情况，因为a=0时，要使原式有意义的x不存在.

例4 求下列各题中f（x）的解析式：

（1）已知函数f（x+1）=x2-3x+2，求f（x）； （2）已知f（x+4）=x+8x，求f（x2）； （3）已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（

1）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）； x(4)已知一次函数f（x）满足f［f（x）］=4x-1，求f（x）. 思路解析：求函数的解析式关键在于弄清对于“x”而言，“f”是怎样的对应法则，至于选