9上24.8《直线和圆的位置关系》课案（教师用）

课案（教师用）

课题 直线与圆的位置关系（二）---切线的判定

（新授课）

海安县海陵中学初一数学组 邓厚来

【理论支持】

在学习本节内容之前学生已经掌握了圆的切线的定义、直线和圆的三种位置关系和一种直线与圆相切的判定方法（d=r）．根据前苏联教育家维果茨基的“最近发展区”理论，学生已有的数学现实是学生建构新知的基础，学生容易在“最近发展区”获得新知识生长点．根据本节课的内容和目标要求，结合初三学生认知特点，本节课的教学思路确定为：从学生的生活实际出发，创设问题情境，引导学生从已有的知识经验产生类比联想，通过各种不同形式和内容的思维活动，尝试“再创造”，自主建构新知．教学方法选择为：引导探索法、尝试练习法等，教学模式设计为：创设情境，激活思维——师生交流，感悟新知——解决问题，提升能力——归纳总结，优化认知——练习巩固，内化新知．

【教学目标】

知识技能 1.理解切线的判定定理； 2.掌握判定一条直线是圆的切线的方法； 3.会过圆上一点画圆的切线． 1.感悟切线常用的两种判定方法，体会数形结合的思想； 2.经历切线判定定理的探索过程，发展抽象概括能力． 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 1.经历切线判定定理的探索过程，培养探究精神，发展数学思维能力； 2.体验切线的判定方法，积累解题经验，获得成功的体验． 数学思考 解决问题 情感态度 【教学重难点】 1. 重点：

切线的判定定理、切线的判定方法及其运用． 2. 难点：

合理运用切线的判定方法证题．

【课时安排】

一课时

【教学设计】

课前延伸

1.已知圆的半径为5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.直线l与圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系.

〖答案〗

（1）直线l与圆有两个公共点，直线l与圆相交； （2）直线l与圆有唯一公共点，直线l与圆相切； （3）直线l与圆无公共点，直线l与圆相离.

〖设计说明〗复习已学内容，引起回忆，为后续学习作准备.

2.回忆前面学过的知识，你有哪些方法可以判定直线与圆相切？

〖答案〗

方法一：定义——与圆有唯一公共点的直线；

1

方法二：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.简称:“d = r”．

〖设计说明〗回忆已知道的切线判定方法，为引入切线的判定定理作准备，起到承

前启后的作用,同时为形成完备的切线判定方法作铺垫.

课内探究

一、创设情境

如图， A为⊙O上一点，你能经过点A画出⊙O的切线吗？

O

A〖答案〗连接OA，过点A作直线l⊥OA，则直线l即为所求．

〖设计说明〗让学生自己动手画切线，进行实验、探究，发现并掌握过圆上一点画切线的方法．

二、新知探究

1.切线判定定理的探索

（1）在上述画图过程中，你画图的依据是什么？

〖答案〗和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.

（2）根据上述画图，你认为直线l具备什么条件就是⊙O的切线 了？

OAl〖答案〗

发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；

(2)直线l垂直于半径OA．

〖设计说明〗 一条直线成为切线需满足两个条件：①经过半径外端；②垂直于这条半径．两个条件缺一不可．

这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法．

引导学生归纳切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

定理的符号语言：∵直线l⊥OA，直线l经过半径OA的外端点A，

∴直线l为⊙O的切线．

（3）小结判定一条直线是圆的切线的方法：

①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； ②和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； ③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(切线的判定定理)． 2.例题探究

例1 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．

〖点拨方法〗在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连圆心和公共点”，再证直线与半径垂直。可以简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．本题要证AB是⊙O的切线，只需连接OC，证明OC⊥AB即可．

〖答案〗证明：连接OC．

∵OA＝OB，CA＝CB，

∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线． ∴OC⊥AB． ∴AB是⊙O的切线．

2

OACB例2 如图，已知OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，⊙O的半径为3厘米．求证：AB与⊙O相切．

〖点拨方法〗在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线与圆是否有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于圆的半径．可以简单地说成“无交点，作垂线，证半径”．本题要证AB是⊙O的切线，只需作OH⊥AB于点H，证明OH等于该圆的半径即可．

〖答案〗证明：作OH⊥AB于点H．

∵OA＝OB ，OH⊥AB，

1∴AH＝AB＝4．

2在Rt△OAH中，OA＝5 ，AH＝4，

∴OH＝OA?AH?5?4?3． 即 圆心O到AB的距离等于圆的半径． ∴AB与⊙O相切．

三、课堂反馈

1．下列命题中的假命题是 （填序号） ．．．

2222OAHBA．和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；

B．过直径一端且垂直于这条直径的直线是圆的切线；

C．点A在直线l上，⊙O半径为r，若OA＝r时，则l是⊙O的切线； D．过半径一端且垂直于一条半径的直线是圆的切线； 〖答案〗C．D．

〖讲评策略〗学生先独立判断,再交流辨析，体会几何语言叙述的严谨性．

2．已知：如图，ABCD为直角梯形，AB⊥BC，CD＝AD＋BC，求证：以CD为直径的⊙O与AB相切．

〖答案〗证明：作OH⊥AB于点H．

AD ∴ AD∥OH∥CB．

∵OC＝OD，

∴AH＝BH．

1∴OH＝(AD＋BC) ．

2∵CD＝AD＋BC，

OH1∴OH＝CD＝OC．

2CB∴以CD为直径的⊙O与AB相切．

3. 如图，AB是⊙O的直径，D在AB的延长线上，BD＝OB，C在圆上， ∠CAB＝30°，求证：DC是⊙O的切线．

〖答案〗证明：连接OC．

∵AB是⊙O的直径，

C∴∠ACB＝90°． ∵∠CAB＝30°，

∴BC＝

1AB＝OB ． 2AOBD∵BD＝OB，

∴BC＝BD＝OB． ∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切线．

〖讲评策略〗学生独立完成练习后,利用展台展示推理过程,组织集体交流评价,体会

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方法,形成规律．

四、课堂小结

(1)会过圆上一点画圆的切线； (2)切线的判定定理；

(3)判定一条直线是圆的切线的方法；

(4)证明一条直线是圆的切线的辅助线和证法规律：在判定一条直线是圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连圆心和公共点”，再证直线与半径垂直．当已知条件中未明确指出直线与圆是否有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于圆的半径．

课后提升

一、课后练习题及答案：

1．判断下列命题是否正确：

(1)经过半径外端的直线是圆的切线； ( ) (2)垂直于半径的直线是圆的切线； ( ) (3)和圆有一个公共点的直线是圆的切线； ( ) (4)经过半径的一端，并且垂直于一条半径的直线是圆的切线． ( ) 〖答案〗(1)×；(2) ×；(3) ×；(4) ×．

2．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A的平分线交BC于点D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证： AC是⊙D的切线．

A〖答案〗证明：作DH⊥AC于点H．

∵AD平分∠BAC， DH⊥AC， DB⊥AB， ∴DH ＝DB．

∴AC是⊙D的切线． E H BCD

3．如图，已知，AB是⊙O直径，BC⊥AB于B，⊙O的弦AD∥OC，求证：DC是⊙O的切线．

〖答案〗证明：连接OD．

∵AD∥OC，

∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠2． ∴∠3＝∠4． C在△OCD与△OCB中 ?CO?CO?， ??3??4D?DO?BO?∴△OCD≌△OCB． ∴∠ODC＝∠OBC． ∵BC⊥AB，

∴∠OBC＝90°． ∴∠ODC＝90°． ∴DC是⊙O的切线．

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1A234OB〖设计说明〗通过练习，巩固切线的判定方法，发展学生的合情推理能力和演绎推理

能力，并获得成功的体验．

二、课后练习题情况反馈：

教师对课后练习题进行批改检查，然后将具体情况记录在案，主要包括整体完成情况、学生答题存在的主要问题及形成原因，同时设计适量的有针对性的变式训练及时纠偏．

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