2016上海大同杯数学竞赛及答案

2015年上海初三数学竞赛（大同中学杯）

（2015年12月6日）

解答本题可以使用科学计算器

一填空题（每小题10分，共80分）

1、已知AB为圆O的直径，AB=1，延长AB到点C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则?ABD的面积为______________。

解答：依据切割线定理可以得到：CD?CB?CA?CD?因为可以得到?CBD∽?CDA?22。 BDCD ?ADACBCOA因此有

BD21。 ??AD222222D2因为AB为圆O的直径，所以?ABD时直角三角形。 依据勾股定理有AB?BD?AD?1?3BD?BD?1。 3而S?ABD?122BD?AD?BD2? 2262、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3

个小球的编号和为奇数的概率为______________。

3解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为C7?35种，因为没有小球的数字不同，这样

这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况

3第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7四个数中取三个，取法为C4?4

第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两

22个，取法有C4?C3?12.

这样和为奇数一共有4?12?16种。从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为

223、实数x,y满足x?3y?4，y?3x?4，x?y，则

16 35xy?的值为____________。 yx2??x?3y?4?????①解答：因为?

2??y?3x?4?????②上述①②两个相减，得到：(x?y)(x?y)?3(x?y)?0。因为x?y 所以有x?y?3。

222上述①②相加得到x?y?3(x?y)?4?(x?y)?2xy?3(x?y)?4

xy(x?y)2?2xy?1 所以xy?1。因此??yxxy 4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍，则这三个素数为________．

解答：设这三个素数为a,b,c。则有abc?23(a?b?c)。因为23是素数，从

abc?23(a?b?c)，可以得到23能够整除三个素数a,b,c的abc积。从而可以得到其中

有一个素数必为23。假设a?23

这样就有bc?23?b?c?bc?b?c?1?24?(b?1)(c?1)?24?4?6?2?12 因为b,c为素数，所以得到b?5,c?7或b?3,c?13 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图，圆O1与圆 O2外切于点P ，从圆O1上点A 作圆O2的切线AB ， B 是切点，连接 AP 并延长，与圆O2交于点C ．已知圆O1 、圆O2的半径分别为2、1，则

AC?________． AB解答：做如图所示的辅助线。可以得到 为此设PC?k，则PA?2k. 应用切割线定理有： 所以

CO1PO2BAAC3k6。 ??AB26k6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，?MON 的两边分别是射线 y ??x(x ??0)与x轴正

半轴．点A(6,5)，B(10,2)是?MON 内的两个定点，点P、Q分别是?MON 两边上的 动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________． 解答：本题主要就是应用对称。应为四边形 MABQP ，其中一个边AB为定值。要求四边形 A'ABQP 周长的最小值，只要求另外三边的最小值。 A从对称可以得到A(5,6),B(10,?2). 四边形另外三边的最小值为AB 依据两点间距离公式有 。

////PBNQ，A/B/?(10?5)2?(?2?6)2?89B'AB?(10?5)2?(2?5)2?34 从而最小值为89?34。

7. 不定方程x?y?xy?2x?2y的整数(x,y)解共有________组。

解答：设x?y?k，所以从x?y?xy?2x?2y，可以得到k?2xy?xy?2k

22222k2?2k所以k?2k?3xy?xy?。

32k2?2k?0的两个根，并且根为整数。 这样x,y是方程t?kt?32k2?2k?0?k2?8k?0。因此有0?k?8。 所以??(?k)?4?32k2?2kk(k?2)?同时要保证xy?为整数。这样就有k?0，3，5，6，8 33当k?0时，(x,y)?(0,0)

当k?3时，方程为方程t?3t?1?0没有整数解。 当k?5时，方程为方程t?5t?5?0没有整数解。

当k?6时，方程为方程t?6t?8?0，有整数解为2,4。所以(x,y)?(2,4)或(4,2) 当k?8时，方程为方程t?8t?16?0，有整数解为4,4。所以(x,y)?(4,4) 整数(x,y)解共有4组

8. 设a是给定的正实数，n 是给定的大于1 的整数，实数x1,x2,x3,???,xn 满足

2222x12?x22?x32?????xn2?a，则

(x1?x2)2?(x1?x3)2?????(x1?xn)2?(x2?x3)2?????(x2?xn)2?????(xn?1?xn)2的最

大值________________。

解答：

222222因为(x1?x2)?(x1?x3)?????(x1?xn)?(x2?x3)?????(x2?xn)?????(xn?1?xn)

有这样的一个结论，因为

而?2x1(x2?x3????xn)?2x2(x3?x4????xn)?2xn?2(xx?1?xn)?2xn?1xn

?[(x12?x22)?(x12?x32)????(x12?xn2)]?[(x22?x32)?(x22?x42)????(x22?xn2)]?[(x32?x42)?(x32?x52)????(x32?xn2)]????[(xn?22?xn?12)?(xn?22?xn2)]?(xn?12?xn2)]?(n?1)x12?(x?1)x22????(x?1)xn2?(n?1)(x12?x22????xn2)?(n?1)a所以最大值为2(n?1)a

二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 如图，在△ABC中，BC ??a，CA ??b，?ACB ??60?，△ABD是正三角形，P是其中 心，求CP 的长度．

解答：分析作D点关于AB的对称点D/。

则?ADB为等边三角形，这样就有?ADB?60，已知?ACB ??60??

所以A,C,D,B四点共圆。这个圆过P

///0APD点。连接AP，BP。

因为P是正三角形ABD的中心，所以

因为A,C,B,P四点共圆，也就是四边形ACBP为 圆内接四边形，应用圆内接四边形托勒密定理 可以得到AB?PC?BP?AC?AP?BC 所以PC?CD'B3(a?b)。 310. 在1，2，… ，2015 这2015 个正整数中选出k个数，使得其中任意两个不同的数的和 都不是50 的倍数，求k 的最大值．

解答：因为所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4，… ,47,48,49。共50中情况。而2015?50?40???15。

下面吧从1,2，… ，2015这2015个数被50除，余数的情况列表如下。 余数 第1行 第2行 第3行 … 第40行 第41行 1 1 51 101 … 2 2 52 102 … … … … … … 15 15 65 115 … … … 24 … 24 … 74 … 124 … … 25 25 75 125 26 26 76 126 … … … … … 48 48 98 148 … 49 49 99 149 … 0 50 100 150 … 1951 1952 … 2001 2002 … 1998 1999 2000 2015 … 第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。

第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。

以后每行都取前24个数，取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个数为26?24?(40?2?1)?15?977 这样集合为这样式样