河南省洛阳市2019届高三下学期第一次月考文科数学试题(含答案)

河南省洛阳市2019届高三下学期第一次月考

文科数学

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1．[2019·肇庆统测]设集合P??xx2?2x?0?，Q??x?1?x?1?，则PIQ?（ ） A．??1,2? B．??1,0? C．?1,2? D．?0,1?

【答案】D

【解析】对于集合P，由x?x?2??0，解得0?x?2，故PIQ??0,1?，故选D． 2．[2019·呼和浩特调研]已知复数z?bi4?3i，其中b?R，i为虚数单位，且z?5，则 b?（ ） A．?25 B．?1 C．?3 D．?5

【答案】A 【解析】由z?bibi4?3i，得z?4?3i?5，即b5?5，得b??25．故选A． 3．[2019·吴起高级中学]等差数列?an?中，sn为其前n项和，若s3?2，s6?8，则s9?（ ） A．32 B．18

C．14

D．10

【答案】B

【解析】∵等差数列?an?中，sn为其前n项和，s3?2，s6?8， 则根据等差数列的性质可得s3，s6?s3，s9?s6仍成等差数列，

即2，8?2，s9?8成等差数列，则有2??8?2??2??s9?8?，解得s9?18．故选B．

4．[2019·哈六中]哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为4的正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）

A．11 B．10

C．9

D．8

【答案】C

【解析】设黑色部分的面积为S，∵正方形二维码边长为4，

在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点， ∴

S2254?4?400，解得S?9，据此可估计黑色部分的面积为9，故选C． y2x25．[2019·南阳期末]若双曲线a9?1?a?0?的一条渐近线与直线y?12?3x垂直，

则此双曲线的实轴长为（ ）A．1 B．2 C．9 D．18

【答案】D

【解析】渐近线的方程为ax?3y?0，因a?0，故渐近线ax?3y?0与直线y?13x垂直，

故?a3?13??1，解得a?9，所以双曲线的实轴长为2a?18，故选D．

6．[2019·唐山期末]某三棱锥的三视图如图所示，此三棱锥的体积为3，则三棱锥的所有棱中，最长棱的长度为（ ）

A．13 B．23

C．10 D．152 【答案】B

【解析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P?ABC，其中平面PAC?底面ABC，取AC中点为E，则

PE?底面ABC，且PE?3，AC?2，

由V?13?PE?S11△ABC?3?3?2?2?BE?3，即BE?3，

∴△ABC为等边三角形，AB?BC?CA?2，PB?9?3?23，PA?PC?9?1?10， ∴最长棱的长度为23．故选B．

7．[2019·南昌二中]已知函数f?x??2x?lnx?1，则y?f?x?的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由于f??1?2?2???11?21?0，排除B选项． 2?ln2?1ln2?2由于f?e??2e?2，f?e2??2e2?3，f?e??f?e2?，函数单调递减，排除C选项．

由于f?e100??2e100?101?0，排除D选项．故选A．

8．[2019·泉州质检]已知函数f?x??ax3?bx?2的极大值和极小值分别为M，m，则M?m?（ ） A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】D

【解析】f??x??3ax2?b?0，该方程两个根为x1，x2，故f?x?在x1，x2取到极值； M?m?4?b??x1?x2??a?x1?x2???x21?x2??3x1x2?，而x1?x2?0，x1x2??b3a， ∴M?m?4，故选D．

9．[2019·黄山一模]当输入a的值为16，b的值为12时，执行如图所示的程序框图，则输出的a的结果是（

A．2 B．3

C．4

D．6

【答案】C

【解析】模拟程序的运行，可得a?16，b?12， 满足条件a?b，满足条件a?b，a?16?12?4， 满足条件a?b，不满足条件a?b，b?12?4?8， 满足条件a?b，不满足条件a?b，b?8?4?4，

不满足条件a?b，输出a的值为4．故选C．

10．[2019·长春十一中]已知点A?0,2?，抛物线C：y2?4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FM:MN?（ ）

A．2:5 B．1:2 C．1:5 D．1:3

【答案】C

【解析】∵抛物线C：y2?4x的焦点为F?1,0?，点A坐标为?0,2?， ∴抛物线的准线方程为l:x??1，直线AF的斜率为k??2， 过M作MP?l于P，根据抛物线物定义得FM?PM，

∵Rt△MPN中，tan?NMP??k?2，

）

∴

PNPM?2，可得PN?2PM，得MN?PN|2?PM|2?5PM，

因此可得FM:MN?PM:MN?1:5．故选C．

11．[2019·东莞期末]圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，则圆锥SD与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A．9:32 B．8:27

C．9:22

D．9:28

【答案】A

【解析】设圆锥底面圆的半径为r，圆锥母线长为l，

则侧面积为πrl，侧面积与底面积的比为πrllπr2?r?2，

则母线l?2r，圆锥的高为h?l2?r2?3r，则圆锥的体积为1πr2333h?3πr，

设外接球的球心为O，半径为R，截面图如图， 则OB?OS?R， OD?h?R?3r?R，BD?r，

在直角三角形BOD中，由勾股定理得OB2?OD2?BD2， 即R2?r2??3r?R?2，展开整理得R?23r，

33∴外接球的体积为43πR3?43π?833r3?32πrπr393，故所求体积比为3932πr3?32．故选A．

9312．[2019·河北一模]已知函数f?x??Asin??x??????A?0,??0,??π?2??，x??π4是函数的一个零点，且x?π4是

其图象的一条对称轴．若??π?9,π?6??是f?x?的一个单调区间，则?的最大值为（ ）

A．18 B．17 C．15 D．13

【答案】D

【解析】由题意，得??1k?π?π?π2π?4?2??T?4????4???2?k?Z?，∴T?2k?1?k?Z?，

又T?2π?，∴??2k?1?k?Z?．

∵??π?9,π?6??是f?x?的一个单调区间，∴ππ1π6?9?2T，即T?9，

∵T?2π2k?1，∴2k?1?18，即k?8.5．

①当k?8，即??17时，?174π???kπ，k?Z，∴??17π4?kπ，k?Z， ∵??π2，∴??π4，此时f?x??Asin???17x?π??ππ?4??在??9,6??上不单调，∴??17不符合题意；

②当k?7，即??15时，?154π???kπ，k?Z，∴??154π?kπ，k?Z， ∵??π2，∴???π4，此时f?x??Asin??π??ππ??15x?4??在??9,6??上不单调，∴??15不符合题意；

③当k?6，即??13时，?134π???kπ，k?Z，∴??134π?kπ，k?Z． ∵??ππ??π2，∴??π4，此时f?x??Asin???13x?π?4??在??9,6??上单调递增，

∴??13符合题意，故选D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[2019·合肥一模]若非零向量a，b满足a??a?2b?，则a?bb?__________．

【答案】1

【解析】结合a??a?2b?可知，a??a?2b??0得到a2?2ab?0，∴

a?b?b?2b??a?b?2?0?b2b2?1．

14．[2019·醴陵一中]某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值

为__________． 【答案】12

【解析】设男学生人生为x，女学生人数为y，教师人数为z，且x，y，z?N*， 则2z?x?y?z，当z?1时，2?x?y?1不成立；当z?2时，4?x?y?2不成立； 当z?3时，6?x?y?3，则x?5，y?4，此时该小组的人数最小为12．

15．[2019·百色摸底]已知数列?aa?2?n?为正项的递增等比数列，a1?a5?82，2?a4?81，记数列?a?的前n项和

?n?为T，则使不等式20191n3Tn?1?1成立的正整数n的最大值为_______．

【答案】6

【解析】数列?an?为正项的递增等比数列，a1?a5?82，a2?a4?81?a1a5，

即??a1?a5?82，解得??a1?1，则公比q?3，∴an?1?an?31?a5?81?a，

5?811?1则T22223n?3?n?1?3?32?L?3n?1?2?1?1?，∴20191T?1?1， 1?1??3n??3n3即2019?13n?1，得3n?2019，此时正整数n的最大值为6．故答案为6． ?x?y?3?0?16．[2019·阆中中学]设x，y满足约束条件??2x?y?6?0，若目标函数z?ax?by?x?0 ?a?0,b?0?的最大值为12，

??y?0则1a?13b的最小值为_________________． 【答案】2512

【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点A?9,12?处取得最大值为12，

即9a?12b?12，3?1ba254a?b?1，∴?1??3a?13ba?a?3b????4?b???12?a?4b?1312?2a?4b?12，

当且仅当

baa?4b，即a?42255，b?5时，取得最小值为12． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·东城期末]在△ABC中，2csinAcosB?asinC． （1）求?B的大小；

（2）若△ABC的面积为a2，求cosA的值． 【答案】（1）

π4；（2）31010．

【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理可得csinA?asinC，∴cosB?asinC22csinA?2， 又0??B?π，∴?B?π4． （2）∵△ABC的面积为a2?1π2acsin4，∴c?22a，

由余弦定理得b2?a2?8a2?2?a?22a?22，∴b?5a．∴cosA?5a2?8a2?a22?5a?22a?31010． 18．（12分）[2019·徐州一模]如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点．

（1）求证：EF∥平面A1BD；

（2）若A1B1?A1C1，求证：平面A1BD?平面BB1C1C． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】（1）∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B．

∵EF?平面A1BD，A1B?平面A1BD，∴EF∥平面A1BD． （2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?平面A1B1C1， ∵A1D?平面A1B1C1，∴BB1?A1D．

∵A1B1?A1C1，且D是B1C1的中点，∴A1D?B1C1．

∵BB1IB1C1?B1，B1C1，BB1?平面BB1C1C，∴A1D?平面BB1C1C． ∵A1D?平面A1BD，∴平面A1BD?平面BB1C1C．

19．（12分）[2019·衡水金卷]随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：