二次函数综合题(2)同步跟踪训练(含详细解析)

∵S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC =?（3+4）?1+?2﹣4﹣?3?3 =+﹣=3

S△ABC=?AB?OC=?4?3=6， ∴S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．

（3）存在，理由如下：

①如图2，当Q在x轴下方时，作QE⊥x轴于E，

∵四边形ACQP为平行四边形， ∴PQ平行且相等AC， ∴△PEQ≌△AOC， ∴EQ=OC=3， ∴﹣3=x2﹣2x﹣3，

解得 x=2或x=0（与C点重合，舍去）， ∴Q（2，﹣3）．

②如图3，当Q在x轴上方时，作QF⊥x轴于F，

∵四边形ACPQ为平行四边形， ∴QP平行且相等AC， ∴△PFQ≌△AOC， ∴FQ=OC=3， ∴3=x2﹣2x﹣3， 解得 x=1+∴Q（1+

或x=1﹣

， ，3）．

，3）或（1﹣

，3）

，3）或（1﹣

综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+

点评：本题考查了二次函数图象与性质、平行四边形及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习．

19．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处． （1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且EF=PF，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题．

分析：（1）E为AB中点，则横坐标、纵坐标分别为3，1，故坐标为（3，1）；由A落在F处，则BF=AB=3，所以横坐标、纵坐标分别为1，2，故坐标为（1，2）．

（2）因为FP=EF且图中并无已知位置，所以画圆是找全所有情况的最好办法，发现y轴上存在两点P，使得FP=EF，进一步根据三角形性质可得到坐标，但要考虑题目中对P点的要求对最后结果进行取舍．求抛物线解析式通常采用的方法为待定系数法，注意题中已知F为顶点，故利用顶点式设抛物线解析式求解过程会简单很多．

（3）四边形周长最小我们基本没有接触过，但是周长中其中EF固定，那么周长最小就转化为三段折现最短，恰起止两点已经固定，这是我们在学对称轴时常见的画图找最短路径题目，即利用两次对称点性质将问题转化为两个点间路径最短的问题，则N、M两点易找到，进而最短周长易求． 解答：解：

（1）E（3，1），F（1，2）． （2）

如图1，以点C为圆心，BF为半径画弧交y轴于P，P'，连接EF，FP，FP'． ∵CF⊥PP'，CP=CP' ∴F在PP'的垂直平分线上， ∴FP=FP'．

在△FCP和△EBF中，

，

∴△FCP≌△EBF， ∴FP=EF，CP=BF，

∴FP=FP'=EF，CP=CP'=BF=2，

∴P（0，4），P'（0，0）（此点不在y的正半轴上，舍去）， ∵F（1，2）为抛物线顶点， ∴设抛物线解析式y=a（x﹣1）2+2，

∴代入P（0，4），解得a=2，y=2（x﹣1）2+2=2x2﹣4x+4． （3）

如图2，作E点关于x轴的对称的E'，做F点关于y轴的对称的F'，连接E'F'交x轴，y轴分别为M，N，连接EF，EM，FM．

∵NF=NF'，EM=E'M，

∴C四边形NMEF=FM+NM+ME+FE=NF'+NM+ME'+EF=E'F'+EF， 根据两点间线段最短得，此时C四边形NMEF最小． ∵E（3，1），F（1，2）， ∴E'（3，﹣1），F（﹣1，2）， ∴BF'=4，BE'=3， ∴根据勾股定理，E'F'=5， ∵EF=

，

．

∴当C四边形NMEF最小时，C四边形NMEF=E'F'+EF=5+

点评：本题考查了三角形性质，待定系数求抛物线解析式及路径最短等基础知识，数据不复杂，难度也适中，是一道非常值得学生巩固练习的题目．

20．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）． （1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．

（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．

考点：二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定． 专题：代数几何综合题．