[推荐]人教版2020届高考数学（理）一轮复习课时作业47

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小； (3)线段BC上是否存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．

解：(1)因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC， 所以DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩DC＝D， 所以DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C. 又因为A1C⊥CD，DE∩CD＝D， 所以A1C⊥平面BCDE.

(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A1(0,0,23)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)． 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)， →→则n·A1B＝0，n·BE＝0.

→→

又因为A1B＝(3,0，－23)，BE＝(－1,2,0)，

??3x－23z＝0，所以?

??－x＋2y＝0.

令y＝1，则x＝2，z＝3，所以n＝(2,1，3)． 设CM与平面A1BE所成的角为θ. →

因为CM＝(0,1，3)，

?→?→CM?42?n·

所以sinθ＝|cos〈n，CM〉|＝＝＝2.

?→?8×4?|n||CM|?

π

所以CM与平面A1BE所成角的大小为4. (3)线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．理由如下：

假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]． 设平面A1DP的法向量为m＝(x1，y1，z1)， →→则A1D·m＝0，DP·m＝0，

→→

∵A1D＝(0,2，－23)，DP＝(p，－2,0)，

??2y1－23z1＝0，∴? ??px1－2y1＝0，

3p∴z1＝3y1，x1＝2y1. 设y1＝6，则m＝(3p,6,23)，

∵平面A1DP与平面A1BE垂直，则m·n＝0， ∴6p＋6＋6＝0，p＝－2，∵0≤p≤3，

∴线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直．