1.1变化率与导数-教学设计-教案

【提示】：直线AB的斜率 【生】学生结合图象思考问题 【设计意图】问题的目的是： ① 让学生加深对平均变化率的理解； ② 为下节课学习导数的几何意义作辅垫； ③ ③培养学生数形结合的能力。 [2]导数的概念 探究1 何为瞬时速度 【板演/PPT】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 解：

探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度

当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.

从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.

为了表述方便，我们用

表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”. 【瞬时速度】

我们用

表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。

探究3:

（1）.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示? （2）.函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念:

一般地，函数 y = f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率是

称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数, 记作

或,

【总结提升】

由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:

[3]例题讲解

例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是

在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.

[4]本节课知识总结 1.函数的平均变化率

2.求函数的平均变化率的步骤: （1）求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1) （2）计算平均变化率

3、求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) （2）求平均速度（3）求极限

4、由导数的定义可得求导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)