高中数学必修精讲精练（学生版）

《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲 高一数学预科培训课程讲习

第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示

¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语

言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

¤知识要点：

1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.

2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为{a1,a2,a3,???,an}，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{x?A|P(x)}，既要关注代表元素x，也要把握其属性P(x)，适用于无限集.

3. 通常用大写拉丁字母A,B,C,???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集N*或

N?，整数集Z，有理数集Q，实数集R. 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号?、例如3?N，?表示，?2?N.

¤例题精讲：

【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）由方程x(x2?2x?3)?0的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 解：

【例2】用适当的符号填空：已知A?{x|x?3k?2,k?Z}，B?{x|x?6m?1,m?Z}，则有： 17 A； －5 A； 17 B. 解：

【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6 练习题2， P13 A组题4） （1）一次函数y?x?3与y??2x?6的图象的交点组成的集合；

（2）二次函数y?x2?4的函数值组成的集合； （3）反比例函数y?解：

【例4】已知集合A?{a|解：

补充知识与例题：

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2的自变量的值组成的集合. xx?a?1有唯一实数解}，试用列举法表示集合A． x2?2《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分

第1练 §1.1.1 集合的含义与表示

※基础达标

1．以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.

A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流

C. 方程x2?1?0的实数解 D. 周长为10cm的三角形 2．方程组

?x?2y?3的解集是（ ）.

2x?y?111?? D. ??1，5?? ??5， A . ?5，1? B. ?1，5? C. 3．给出下列关系：①

1?R； ②2?Q；③ 3?N*；④0?Z. 其中正确的个数是（ ）. 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程(x?1)2(x?2)?0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{x4?x?5}是有限集. 其中正确的说法是（ ）.

A. 只有（1）和（4） B. 只有（2）和（3） C. 只有（2） D. 以上四种说法都不对 5．下列各组中的两个集合M和N, 表示同一集合的是（ ）.

A. M?{?}, N?{3.14159} B. M?{2,3}, N?{(2,3)}

C. M?{x|?1?x?1,x?N}, N?{1} D. M?{1,3,?}, N?{?,1,|?3|} 6．已知实数a?2，集合B?{x|?1?x?3}，则a与B的关系是 . 7．已知x?R，则集合{3,x,x2?2x}中元素x所应满足的条件为 . ※能力提高

8．试选择适当的方法表示下列集合：

（1）二次函数y?x2?2x?3的函数值组成的集合； （2）函数y?

9．已知集合A?{x?N|

3的自变量的值组成的集合. 2x?24?Z}，试用列举法表示集合A. x?3※探究创新

10．给出下列集合：

?x?1x?2?且①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠-3}； ②?(x,y) y?1y??3????x?1x?2?或③?(x,y) ； ④{(x，y)|[(x-1)2+(y-1)2]·[(x-2)2+(y+3)2]≠0}． ?y?1y??3??其中不能表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点（1，1），（2，-3）之外的所有点的集合”的序号有 .

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第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系

¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空

集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.

¤知识要点：

1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作A?B（或B?A），读作“A含于B”（或“B包含A”）.

2. 如果集合A是集合B的子集（A?B），且集合B是集合A的子集（B?A），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A?B.

3. 如果集合A?B，但存在元素x?B，且x?A，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作A??B（或B??A）.

4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作?，并规定空集是任何集合的子集.

5. 性质：A?A；若A?B，B?C，则A?C；

若A?B?A，则A?B；若A?B?A，则B?A.

¤例题精讲：

【例1】用适当的符号填空：

（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.

（2）? {x?R|2x?2?0；} 0 {0}； ? {0}； N {0}. 解：

【例2】设集合A?{x|x?n2,n?Z},B?{x|x?n?12,n?Z}，

则下列图形能表示A与B关系的是（

AB BAABAB 解 ： A． B． C． D．

【例3】若集合M??x|x2?x?6?0?,N??x|ax?1?0?，且N?M，求实数a的值. 解：

【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x的值. 解：

补充知识与例题：

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）. 《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分

第2练 §1.1.2 集合间的基本关系

※基础达标

1．已知集合A??xx?3k,k?Z?,B??xx?6k,k?Z?, 则A与B之间最适合的关系是（ ）.

A.A?B B.A?B C. A?B D. A?B

2．设集合M??x|?1?x?2?，N??x|x?k?0?，若M?N，则k的取值范围是（ ）. A．k?2 B．k??1 C．k??1 D．k?2 3．若{a2,0,?1}?{a,b,0}，则a2007?b2007的值为（ ）. A. 0 B. 1 C. ?1 D. 2

??k1k1+,k∈Z}, N={x|x=+, k∈Z}. 若x0∈M，则x0与N的关系是（ ）. 2442 A. x0∈N B. x0?N C. x0∈N或x0?N D.不能确定 5．已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若Q?P，那么a的值是（ ）.

4．已知集合M={x|x=

A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0，1或－1 6．已知集合A??a,b,c,?，则集合A的真子集的个数是 . 7．当{1,a,}?{0,a2,a?b}时，a=_________，b=_________.

8．已知A={2,3}，M={2,5,a2?3a?5}，N={1,3, a2?6a?10}，A?M，且A?N，求实数a的值.

9．已知集合A??x?2?x?5?，B??xm?1?x?2m?1?.若B?A，求实数m的取值范围.

ba※能力提高

※探究创新

10．集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x-1?A且x+1?A，则称x为A 的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的4元子集.

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