K12教育学习资料[学习]（全国通用版）2018-2019高中数学 第一章 三角函数学业质量标准

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??A＋b＝2，则?

?－A＋b＝1，?

13

解得A＝，b＝，

22

1π3

∴y＝cost＋．

262第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) π???π?13．(2018·北京理，11)设函数f(x)＝cos?ωx－?(ω>0)．若f(x)≤f??对任意的

6???4?2实数x都成立，则ω的最小值为 ．

3π?π?[解析] ∵ f(x)≤f??对任意的实数x都成立，∴ 当x＝时，f(x)取得最大值，4?4?π?ππ?π??π

即f??＝cos?ω－?＝1，∴ ω－＝2kπ，k∈Z，

6?46?4??4

2

∴ ω＝8k＋，k∈Z．

3

2

∵ ω>0，∴ 当k＝0时，ω取得最小值．

3

1ππ314．已知sinθcosθ＝，且<θ<，则cosθ－sinθ的值为 － ．

8422[解析] 因为θ－sinθ

2ππ

<θ<，所以cosθ－sinθ<0，所以cosθ－sinθ＝－42

13

1－＝－． 42

2

＝－1－2sinθcosθ＝－

15．设a为常数，且a>1,0≤x≤2π，则函数f(x)＝cosx＋2asinx－1的最大值为__2a－1__．

[解析] f(x)＝cosx＋2asinx－1＝1－sinx＋2asinx－1＝－(sinx－a)＋a， ∵0≤x≤2π，∴－1≤sinx≤1，

又a>1，∴当ainx＝1时，f(x)max＝－1(1－a)＋a＝2a－1．

16．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(w>0，φ∈[0,2π))的部分图象如图所示，则f(2018)＝

2 ． 22

2

2

2

2

2

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Tπ

[解析] 由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝．

44

πππ

由点(1,1)在函数图象上，可得f(1)＝sin(＋φ)＝1，故＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，

442ππππ

所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝.故f(x)＝sin(x＋)，所以

4444

f(2 018)＝sin(

2 018ππ332

＋)＝sin(504π＋π)＝sinπ＝． 44442

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋cosα的值； (2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值； (3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为的值．

，求2sinα＋cosα

y3x422

[解析] (1)∵r＝x＋y＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴2sinα＋cosα＝

r5r5

642

－＋＝－． 555

－3a3422

(2)∵r＝x＋y＝5|a|，∴当a>0时，r＝5a，∴sinα＝＝－，cosα＝，∴2sinα

5a552

＋cosα＝－；

5

－3a34

当a<0时，r＝－5a，∴sinα＝＝，cosα＝－，

－5a552

∴2sinα＋cosα＝．

5

34

(3)当点P在第一象限时，sinα＝，cosα＝，

553

2sinα＋cosα＝2；当点P在第二象限时，sinα＝，

5

4234

cosα＝－，2sinα＋cosα＝；当点P在第三象限时，sinα＝－，cosα＝－，2sinα

5555＋cosα＝－2；

342

当点P在第四象限时，sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝－．

555π

18．(本题满分12分)已知f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(a为常数)．

6(1)求f(x)的单调递增区间；

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π

(2)若当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；

2(3)求出使f(x)取得最大值时x的取值集合．

πππππ

[解析] (1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

26236ππ

所以f(x)的单调递增区为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

36

πππ7πππ

(2)当x∈[0，]时，2x＋∈[，π]，故当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最

2666626大值a＋3＝4，所以a＝1．

πππ

(3)当sin(2x＋)＝1时f(x)取得最大值，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ

662ππ

＋，k∈Z，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}． 66

ππ

19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关

22π

于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．

3

(1)求ω和φ的值；

α3π2ππ

(2)若f()＝(<α<)，求cos(α－)的值．

24636

[解析] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T2π

＝π，从而ω＝＝2．

T又f(x)的图象关于直线x＝π2

π2

ππππ对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－＋kπ，3326

k∈Z.由－≤φ<得φ＝－．

ααπ3

(2)由(1)得f()＝3sin(2·－)＝，

2264π1π2πππ

所以sin(α－)＝.由<α<得0<α－<，

646362π

所以cos(α－)＝

6

1－sin

2

π6

πα－

6

＝1－

14

2

＝15． 4

π

20．(本题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)

2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：

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ωx＋φ 0 π 2π 35 π 3π 25π 6－5 2π 0 x Asin(ωx＋φ) 0 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式； π

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的

6图象离原点O最近的对称中心．

π

[解析] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：

6

ωx＋φ 0 π 120 π 2π 35 π 7π 120 3π 25π 6－5 2π 13π 120 x Asin(ωx＋φ) π且函数表达式为f(x)＝5sin(2x－)．

6

ππππ

(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]＝5sin(2x＋) 6666因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z． πkππ

令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z．

6212即y＝g(x)图象的对称中心为(π

，0)． 12

21．(本题满分12分)如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h．

kπ

π

－，0)，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为(－212

(1)求h与θ间关系的函数解析式；

(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．

[解析] (1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON小初高K12教育学习资料