常微分方程初等解法的研究

新疆师范大学2015本科毕业论文（设计）

3 n阶常系数线性微分方程的解法

3.1 单根的情形

形如

y?n??a1y?n?1????an?1y'?any?0（3.1.1）

为n阶常系数线性微分方程。这里的a1,a2?an是实常数。对这样的方程求解的方法是待定实数函数法。

经简单的研究（3.1.1）的特征方程为

P?????n?a1?n?1???an?1??an?0（3.1.2）

它的根为特征根。 1）单根只为实数

当（3.1.2）有n个互异的根?1,?2,?,?n，则

y1?e?1x,y2?e?2x,?,yn?e?nx（3.1.3）

是（3.1.1）的一个基本解组[1]。 例6 求解方程y''?5y'?0的通解。 解 特征方程为?2-5??0

特征根为?1?0，?2?5， 故所求通解为y?C1?C2e5x 其中C1,C2为任意常数。 2）单根中有复数

复根一定是共轭出现的。即?k?a?bi?a,b?为实数，则?k?1?a-bi也是（3.1.1）的根。这两个根所对应的解是实变量复值函数

yk?e?a?bi??eaxcosbx?ieaxsinbx yk?1?e?a-bi??eaxcosbx-ieaxsinbx

例7 求方程y'''?3y''?9y'?13y?0的通解。 解 特征方程为?3?3?2?9??13?0

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由此得?1?-1,?2?2?3i,?3?2?3i

因此，原方程的通解为y?C1e?x?e2x?C2cos3x?C3sin3x?

3.2重根的情形

1）重根只为实数

如果（3.1.1）有的特征根?1,?2,?,?p，它们的重数分别是

m1,m2,?,mp,m?1且m1?m2???mp?n，则它们相对应的（3.1.1）的特解是

e?1x,xe?1x,?,xm1?1e?1xe?2x,xe?2x,?,xm2?1e?2x

????e?px,xe?px,?,xmp?1?pxe???上的基本解组。 构成了（3.1.1）在区间?-?，例8 求方程 y''?4y'?4y?0的通解。 解 特征方程为?2?4??4?0

?1?-2是二重特征根，故所求的通解是y?e?2x?C1?C2x? 2）重根中有复数

同理可以得到复根一定是共轭出现的。即?k?a?bi?a,b?为实数，则?k?1?a-bi也是（3.1.1）的m1重特征根。因此，此时（3.1.2）中含有如下2m1个复值解

eaxcosbx,xeaxcosbx,?,xm1?1eaxcosbxesinbx,xesinbx,?,x例9 求方程y?4??4y'''?5y''?4y'?4y?0 解 特征方程是?4?4?3?5?2?4??4?0 故特征根是?1,2?2,?3?i,?4??i

它们对应的实解为e2x,xe2x,cosx,sinx 所求的通解为y?e2x?C1?C2x??C3cosx?C4sinx

axaxm1?1axesinbx

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4 常微分方程的应用

4.1 人口动力学问题

假设某地区的t时刻人口数量为x?t?，在没有迁入或迁出的情况下，人口增长率与t时刻的人口数成正比。则有

dx ?kxdt （4.1.1）

其中，k为常数。（4.1.1）是著名的马尔萨斯人口发展方程[6]。

假设该地区t?0时初始人口数为x?0??x0?0，注意到人口数量x?t??0，可将（4.1.1）中分离变量，改写成

dx两边从0到t积分，并整理得到x?t??x0ekt ?kdt，

xnx?n?xn??ek，表明该地区的人口成集合x0x0若以年为单位取自然数变化则有级数增长。

??4.2 简谐运动

描述弹簧振动的方程

d2xdxp2?q?cx?f?t? dtdt如果其中p为物体的质量，f?t??0且q?0，即假设没有外力且忽略阻力，这是得到方程

d2xp2?cx?0 （4.2.1） dt此时称弹簧的振动为简谐振动。

cd2x 令h?，方程（4.2.1）变为2?h2x?0

pdt2这是一个二阶常系数齐次方程。特征方程为?2?h2?0 特征根为?1,2??ih

它的通解为x?C1cosht?C2sinht （4.2.2） 其中C1,C2是任意常数。

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为了进一步的认识简谐振动，可将（4.2.2）变为下面形式：

x?Asin?ht???（4.2.3）

其中

2C12?C2?A,C1C?C2122?sin?,C2C?C2122?cos?

由此可见，物体在平衡位置附近作简谐运动。

量A称为振幅，幅角kt??称为位相，相位在t?0时所取之值，即?，称为初位相，k?c2?p是固有振动频率，T?为周期[1]。易见，k仅与弹簧的刚?2?phc度和物体的质量有关。将（4.2.2）对t微分，可以得到物体运动的速度 dxv??Akcos(ht??)

dt为了确定振幅级初位相，必须给出初值条件。例如，假设在初始时刻t?0时，物体的位置是x?x0，速度是v?v0，这时有

x0?Asin?,v0?Ahcos?

从而

2v0hxA?x?2,??arctan0

hv020有上述公式可以看出，振幅A与位相?和振动周期及频率不同，它们都和系统的初始状态有关[1]。

4.3电路理论

例11 由电阻R、电容C及直流电源E串联而成的电路。当闭合开关K时，电路中有电流i通过，电容器逐渐充电，电容器上的电压UC,电阻两端电压为UR,电路中的电流为i[4]。

解 由电学中的回路电压定律，知UC?UR?E

此外，由电学知识，知UR?Ri,i?可得微分方程RCdqq,UC? dtCdUC?UC?E dt初始条件为UC(0)?0

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